Страница 238 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

8.56 Запишите уравнение прямой и постройте её, если известно, что:

а) угловой коэффициент прямой равен $-2$ и она проходит через точку $(2; -2)$;

б) угловой коэффициент прямой равен 0,5 и она проходит через точку $(-6; -2)$.

а) угловой коэффициент прямой равен -2 и она проходит через точку (2; -2);

Общее уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид $y = kx + b$, где $k$ — это угловой коэффициент, а $b$ — коэффициент, отвечающий за сдвиг графика вдоль оси Oy (ордината точки пересечения прямой с осью Oy).

По условию задачи, угловой коэффициент $k = -2$. Следовательно, уравнение нашей прямой принимает вид: $y = -2x + b$.

Чтобы найти значение $b$, мы используем информацию о том, что прямая проходит через точку с координатами (2; -2). Это означает, что при $x = 2$ значение $y$ должно быть равно -2. Подставим эти значения в уравнение:

$-2 = -2 \cdot 2 + b$

$-2 = -4 + b$

Чтобы найти $b$, перенесем -4 в левую часть уравнения, изменив знак:

$b = -2 + 4$

$b = 2$

Теперь мы знаем оба коэффициента, и можем записать окончательное уравнение прямой: $y = -2x + 2$.

Для построения прямой на координатной плоскости достаточно двух точек. Одна точка нам уже известна — (2; -2). Найдем вторую точку, подставив в уравнение любое удобное значение $x$. Например, пусть $x = 0$:

$y = -2 \cdot 0 + 2 = 2$

Таким образом, вторая точка — (0; 2). Теперь можно построить график: отмечаем на координатной плоскости точки (2; -2) и (0; 2) и проводим через них прямую линию.

Ответ: $y = -2x + 2$.

б) угловой коэффициент прямой равен 0,5 и она проходит через точку (-6; -2).

Действуем аналогично предыдущему пункту. Уравнение прямой имеет вид $y = kx + b$.

Из условия известно, что угловой коэффициент $k = 0,5$. Значит, уравнение выглядит так: $y = 0,5x + b$.

Прямая проходит через точку (-6; -2). Подставим координаты этой точки ($x = -6$, $y = -2$) в уравнение для нахождения $b$:

$-2 = 0,5 \cdot (-6) + b$

$-2 = -3 + b$

Переносим -3 в левую часть с противоположным знаком:

$b = -2 + 3$

$b = 1$

Итак, полное уравнение прямой: $y = 0,5x + 1$.

Для построения графика нам нужны две точки. Первая точка дана в условии: (-6; -2). Найдем вторую, подставив в уравнение, например, $x = 0$:

$y = 0,5 \cdot 0 + 1 = 1$

Вторая точка имеет координаты (0; 1). Для построения графика отмечаем на координатной плоскости точки (-6; -2) и (0; 1) и соединяем их прямой линией.

Ответ: $y = 0,5x + 1$.

8.57 Запишите уравнение прямой, параллельной данной прямой и проходящей через данную точку A:

a) $y = 3x$, A(2; -1);

б) $y = -\frac{1}{2}x + 4$, A(-6; 5).

а)

Общий вид уравнения прямой — $y = kx + b$, где $k$ — это угловой коэффициент. Две прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны. Угловой коэффициент данной прямой $y = 3x$ равен $k = 3$. Следовательно, уравнение искомой прямой, параллельной данной, будет иметь вид $y = 3x + b$.

Чтобы найти значение $b$, мы используем тот факт, что прямая проходит через точку $A(2; -1)$. Это означает, что координаты точки удовлетворяют уравнению прямой. Подставим значения $x = 2$ и $y = -1$ в уравнение:
$-1 = 3 \cdot 2 + b$
$-1 = 6 + b$
$b = -1 - 6$
$b = -7$

Теперь подставим найденное значение $b$ в уравнение прямой.
Ответ: $y = 3x - 7$.

б)

Данная прямая задана уравнением $y = -\frac{1}{2}x + 4$. Ее угловой коэффициент $k = -\frac{1}{2}$. Так как искомая прямая параллельна данной, ее угловой коэффициент также будет равен $-\frac{1}{2}$. Уравнение искомой прямой имеет вид $y = -\frac{1}{2}x + b$.

Прямая проходит через точку $A(-6; 5)$. Подставим координаты этой точки ($x = -6$, $y = 5$) в уравнение, чтобы найти коэффициент $b$:
$5 = -\frac{1}{2} \cdot (-6) + b$
$5 = 3 + b$
$b = 5 - 3$
$b = 2$

Подставляем значение $b = 2$ в уравнение.
Ответ: $y = -\frac{1}{2}x + 2$.

8.58 Запишите уравнение прямой и постройте эту прямую, если известно, что:

a) прямая проходит через начало координат и через точку с координатами $(90; 60)$;

б) прямая пересекает ось $y$ в точке $(0; -3)$ и проходит через точку $(15; 57)$.

а)

Общий вид уравнения прямой: $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — ордината точки пересечения прямой с осью $y$.

Поскольку прямая проходит через начало координат, то есть через точку $(0; 0)$, мы можем подставить эти координаты в общее уравнение прямой:
$0 = k \cdot 0 + b$
Отсюда следует, что $b = 0$. Таким образом, уравнение нашей прямой имеет вид $y = kx$.

Также известно, что прямая проходит через точку с координатами $(90; 60)$. Подставим эти значения в уравнение $y = kx$, чтобы найти угловой коэффициент $k$:
$60 = k \cdot 90$
$k = \frac{60}{90} = \frac{2}{3}$

Итак, искомое уравнение прямой: $y = \frac{2}{3}x$.

Для построения прямой на координатной плоскости достаточно двух точек. У нас есть точка $(0; 0)$ и точка $(90; 60)$. Для удобства построения можно найти еще одну точку, выбрав простое значение $x$. Например, при $x = 3$:
$y = \frac{2}{3} \cdot 3 = 2$.
Получаем точку $(3; 2)$. Отметив на координатной плоскости точки $(0; 0)$ и $(3; 2)$ и проведя через них прямую, мы построим график.

Ответ: Уравнение прямой $y = \frac{2}{3}x$. Построение выполняется по двум точкам, например, $(0; 0)$ и $(3; 2)$.

б)

Используем общий вид уравнения прямой $y = kx + b$.

Из условия известно, что прямая пересекает ось $y$ в точке $(0; -3)$. Это означает, что y-перехват (коэффициент $b$) равен $-3$.
Таким образом, уравнение принимает вид $y = kx - 3$.

Прямая также проходит через точку $(15; 57)$. Подставим координаты этой точки в полученное уравнение, чтобы найти угловой коэффициент $k$:
$57 = k \cdot 15 - 3$
$57 + 3 = 15k$
$60 = 15k$
$k = \frac{60}{15} = 4$

Следовательно, искомое уравнение прямой: $y = 4x - 3$.

Для построения прямой используем две точки. Одна точка нам дана — это точка пересечения с осью $y$: $(0; -3)$. Найдем вторую, подставив в уравнение удобное значение $x$, например, $x = 1$:
$y = 4 \cdot 1 - 3 = 1$.
Таким образом, вторая точка — $(1; 1)$. Отметив на координатной плоскости точки $(0; -3)$ и $(1; 1)$ и проведя через них прямую, мы построим график.

Ответ: Уравнение прямой $y = 4x - 3$. Построение выполняется по двум точкам, например, $(0; -3)$ и $(1; 1)$.

8.59 Запишите уравнение прямой, параллельной данной прямой и проходящей через данную точку А:

а) $3x + 4y = 12$, A $(8; -8)$;

б) $2x - 5y = 1$, A $(5; 7)$.

Подсказка. Запишите данные уравнения в виде $y = kx + l$.

а)

Две прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны. Уравнение прямой в общем виде записывается как $y = kx + l$, где $k$ — это угловой коэффициент.

1. Приведем уравнение данной прямой $3x + 4y = 12$ к виду $y = kx + l$, чтобы найти ее угловой коэффициент.

$4y = -3x + 12$

$y = \frac{-3x + 12}{4}$

$y = -\frac{3}{4}x + 3$

Угловой коэффициент данной прямой $k = -\frac{3}{4}$.

2. Так как искомая прямая параллельна данной, ее угловой коэффициент также будет равен $k = -\frac{3}{4}$. Таким образом, уравнение искомой прямой можно записать в виде $y = -\frac{3}{4}x + b$.

3. Чтобы найти значение $b$, подставим координаты точки A(8; -8), через которую проходит прямая, в полученное уравнение.

$-8 = -\frac{3}{4} \cdot 8 + b$

$-8 = -6 + b$

$b = -8 + 6$

$b = -2$

4. Теперь, зная $k$ и $b$, мы можем записать окончательное уравнение прямой.

Ответ: $y = -\frac{3}{4}x - 2$

б)

Действуем по аналогии с предыдущим пунктом.

1. Найдем угловой коэффициент прямой $2x - 5y = 1$, приведя ее уравнение к виду $y = kx + l$.

$-5y = -2x + 1$

$5y = 2x - 1$

$y = \frac{2x - 1}{5}$

$y = \frac{2}{5}x - \frac{1}{5}$

Угловой коэффициент данной прямой $k = \frac{2}{5}$.

2. Угловой коэффициент искомой параллельной прямой также равен $k = \frac{2}{5}$. Ее уравнение имеет вид $y = \frac{2}{5}x + b$.

3. Прямая проходит через точку A(5; 7). Подставим ее координаты в уравнение, чтобы найти $b$.

$7 = \frac{2}{5} \cdot 5 + b$

$7 = 2 + b$

$b = 7 - 2$

$b = 5$

4. Запишем окончательное уравнение искомой прямой.

Ответ: $y = \frac{2}{5}x + 5$