Страница 232 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Решите задачу, составив систему уравнений по ее условию (8.33–8.35).

8.33 а) Сумма двух чисел равна 91, а их разность равна 45. Найдите эти числа.

б) Первое число на 15 больше второго, а их сумма равна 89. Найдите эти числа.

a) Пусть первое искомое число будет $x$, а второе — $y$. Согласно условию задачи, их сумма равна 91, а разность — 45. Составим систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:
$$ \begin{cases} x + y = 91 \\ x - y = 45 \end{cases} $$
Для решения системы применим метод сложения. Сложим левые и правые части уравнений:
$(x + y) + (x - y) = 91 + 45$
$2x = 136$
$x = \frac{136}{2}$
$x = 68$

Теперь, зная $x$, найдем $y$, подставив значение $x$ в первое уравнение системы:
$68 + y = 91$
$y = 91 - 68$
$y = 23$

Таким образом, искомые числа — это 68 и 23.
Ответ: 68 и 23.

б) Пусть первое число — $x$, а второе — $y$. По условию, первое число на 15 больше второго, это можно записать в виде уравнения: $x = y + 15$. Также известно, что их сумма равна 89, что дает второе уравнение: $x + y = 89$. Преобразуем первое уравнение к виду $x - y = 15$ и составим систему:
$$ \begin{cases} x + y = 89 \\ x - y = 15 \end{cases} $$
Снова воспользуемся методом сложения:
$(x + y) + (x - y) = 89 + 15$
$2x = 104$
$x = \frac{104}{2}$
$x = 52$

Подставим найденное значение $x$ в первое уравнение системы, чтобы найти $y$:
$52 + y = 89$
$y = 89 - 52$
$y = 37$

Таким образом, искомые числа — это 52 и 37.
Ответ: 52 и 37.

8.34 a) На участке прямоугольной формы, периметр которого равен 140 м, разность длин двух сторон равна 50 м. Найдите размеры участка.

б) Брат и сестра, работая в каникулы на почте, заработали 5000 р. Брат заработал на 600 р. больше сестры. Сколько заработал каждый?

а)

Обозначим длину и ширину прямоугольного участка как a и b соответственно.

Периметр прямоугольника равен удвоенной сумме его смежных сторон, что выражается формулой $P = 2(a + b)$. Согласно условию задачи, периметр равен 140 м.

$2(a + b) = 140$

Разделив обе части уравнения на 2, получим сумму длин сторон:

$a + b = 70$

Также по условию, разность длин двух сторон равна 50 м. Предположим, что a — это большая сторона, тогда:

$a - b = 50$

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} a + b = 70 \\ a - b = 50 \end{cases}$

Сложим эти два уравнения, чтобы найти значение a:

$(a + b) + (a - b) = 70 + 50$

$2a = 120$

$a = \frac{120}{2} = 60$ м.

Теперь, зная a, найдем b, подставив значение a в первое уравнение системы:

$60 + b = 70$

$b = 70 - 60 = 10$ м.

Проверим: разность сторон $60 - 10 = 50$ м, что соответствует условию.

Ответ: размеры участка 60 м и 10 м.

б)

Пусть x — сумма, которую заработал брат, а y — сумма, которую заработала сестра.

Вместе они заработали 5000 р., что можно записать в виде уравнения:

$x + y = 5000$

Брат заработал на 600 р. больше сестры, что дает нам второе уравнение:

$x = y + 600$, или $x - y = 600$

Составим и решим систему уравнений:

$\begin{cases} x + y = 5000 \\ x - y = 600 \end{cases}$

Сложим левые и правые части уравнений:

$(x + y) + (x - y) = 5000 + 600$

$2x = 5600$

$x = \frac{5600}{2} = 2800$ р.

Итак, брат заработал 2800 р. Чтобы найти заработок сестры, подставим значение x в первое уравнение:

$2800 + y = 5000$

$y = 5000 - 2800 = 2200$ р.

Проверим: заработок брата на $2800 - 2200 = 600$ р. больше заработка сестры, что соответствует условию.

Ответ: брат заработал 2800 р., а сестра — 2200 р.

8.35 a) Для спортивного лагеря купили 10 баскетбольных и волейбольных мячей на сумму 13500 р. Баскетбольный мяч стоит 1500 р., а волейбольный 1250 р. Сколько было куплено мячей каждого вида?
б) На теплоходе 20 двухместных и четырёхместных кают. В них можно разместить 56 пассажиров. Сколько кают разной вместимости на теплоходе?

а)

Для решения этой задачи составим систему уравнений. Пусть $x$ — количество купленных баскетбольных мячей, а $y$ — количество купленных волейбольных мячей.

Согласно условию, всего было куплено 10 мячей. Это можно записать в виде первого уравнения:
$x + y = 10$

Общая стоимость покупки составила 13500 рублей. Стоимость баскетбольного мяча — 1500 рублей, а волейбольного — 1250 рублей. Это даёт нам второе уравнение:
$1500x + 1250y = 13500$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:
$\begin{cases} x + y = 10 \\ 1500x + 1250y = 13500 \end{cases}$

Выразим $y$ из первого уравнения:
$y = 10 - x$

Подставим это выражение во второе уравнение:
$1500x + 1250(10 - x) = 13500$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x$:
$1500x + 12500 - 1250x = 13500$
$250x = 13500 - 12500$
$250x = 1000$
$x = \frac{1000}{250}$
$x = 4$

Таким образом, было куплено 4 баскетбольных мяча.

Теперь найдём количество волейбольных мячей, подставив значение $x$ в выражение для $y$:
$y = 10 - 4$
$y = 6$

Следовательно, было куплено 6 волейбольных мячей.

Проверим решение:
Количество мячей: $4 + 6 = 10$.
Стоимость: $4 \cdot 1500 + 6 \cdot 1250 = 6000 + 7500 = 13500$ р. Все условия выполнены.

Ответ: было куплено 4 баскетбольных и 6 волейбольных мячей.

б)

Для решения этой задачи также составим систему уравнений. Пусть $x$ — количество двухместных кают, а $y$ — количество четырёхместных кают.

По условию, всего на теплоходе 20 кают. Это даёт нам первое уравнение:
$x + y = 20$

Общая вместимость всех кают составляет 56 пассажиров. Двухместная каюта вмещает 2 человека, а четырёхместная — 4. Получаем второе уравнение:
$2x + 4y = 56$

Составим систему уравнений:
$\begin{cases} x + y = 20 \\ 2x + 4y = 56 \end{cases}$

Выразим $x$ из первого уравнения:
$x = 20 - y$

Подставим это выражение во второе уравнение:
$2(20 - y) + 4y = 56$

Решим полученное уравнение относительно $y$:
$40 - 2y + 4y = 56$
$2y = 56 - 40$
$2y = 16$
$y = \frac{16}{2}$
$y = 8$

Следовательно, на теплоходе 8 четырёхместных кают.

Теперь найдём количество двухместных кают, подставив значение $y$ в выражение для $x$:
$x = 20 - 8$
$x = 12$

На теплоходе 12 двухместных кают.

Проверим решение:
Количество кают: $12 + 8 = 20$.
Количество пассажиров: $12 \cdot 2 + 8 \cdot 4 = 24 + 32 = 56$. Все условия задачи выполнены.

Ответ: на теплоходе 12 двухместных и 8 четырёхместных кают.

Разберите, как решена система уравнений, и примените этот приём для решения систем:

8.36 a) $\begin{cases} 3u - 4v = 2, \\ 9u - 5v = 7; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 6m - 9n = -4, \\ 2m + 5n = 4; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 5y + 8z = 21, \\ 10y - 3z = -15. \end{cases}$

а) Решим систему: $ \begin{cases} 3u - 4v = 2 \\ 9u - 5v = 7 \end{cases} $
Применим метод алгебраического сложения. Для этого умножим первое уравнение на -3, чтобы при сложении со вторым уравнением коэффициент при переменной u стал равен нулю.
$-3(3u - 4v) = -3(2) \implies -9u + 12v = -6$.
Теперь сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы:
$(-9u + 12v) + (9u - 5v) = -6 + 7$
$7v = 1 \implies v = \frac{1}{7}$.
Подставим найденное значение v в первое исходное уравнение, чтобы найти u:
$3u - 4(\frac{1}{7}) = 2$
$3u = 2 + \frac{4}{7}$
$3u = \frac{14}{7} + \frac{4}{7} = \frac{18}{7}$
$u = \frac{18}{7} \cdot \frac{1}{3} = \frac{6}{7}$.
Ответ: $u = \frac{6}{7}, v = \frac{1}{7}$.

б) Решим систему: $ \begin{cases} 6m - 9n = -4 \\ 2m + 5n = 4 \end{cases} $
Умножим второе уравнение на -3, чтобы при сложении с первым уравнением сократилась переменная m.
$-3(2m + 5n) = -3(4) \implies -6m - 15n = -12$.
Теперь сложим полученное уравнение с первым уравнением системы:
$(6m - 9n) + (-6m - 15n) = -4 + (-12)$
$-24n = -16 \implies n = \frac{-16}{-24} = \frac{2}{3}$.
Подставим найденное значение n во второе исходное уравнение:
$2m + 5(\frac{2}{3}) = 4$
$2m = 4 - \frac{10}{3}$
$2m = \frac{12}{3} - \frac{10}{3} = \frac{2}{3}$
$m = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $m = \frac{1}{3}, n = \frac{2}{3}$.

в) Решим систему: $ \begin{cases} 5y + 8z = 21 \\ 10y - 3z = -15 \end{cases} $
Умножим первое уравнение на -2, чтобы при сложении со вторым уравнением сократилась переменная y.
$-2(5y + 8z) = -2(21) \implies -10y - 16z = -42$.
Теперь сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы:
$(-10y - 16z) + (10y - 3z) = -42 + (-15)$
$-19z = -57 \implies z = \frac{-57}{-19} = 3$.
Подставим найденное значение z в первое исходное уравнение:
$5y + 8(3) = 21$
$5y + 24 = 21$
$5y = 21 - 24 = -3$
$y = -\frac{3}{5}$.
Ответ: $y = -\frac{3}{5}, z = 3$.

8.37 a) $\begin{cases} 3a+5b=4 \\ 2a-3b=9 \end{cases}$

б) $\begin{cases} 2x+3z=6 \\ 3x+5z=8 \end{cases}$

в) $\begin{cases} 2x+3z=6 \\ 3x+5z=8 \end{cases}$

г) $\begin{cases} 2m+5n=12 \\ 4m+3n=10 \end{cases}$

д) $\begin{cases} 6u-7v=6 \\ 7u-8v=15 \end{cases}$

е) $\begin{cases} 8x-3y=22 \\ 3x+4y=-2 \end{cases}$

Образец. Чтобы решить систему уравнений $\begin{cases} 6a+5b=14 \\ 4a-3b=-16 \end{cases}$ преобразуем её так, чтобы коэффициенты при $b$ стали противоположными числами. Для этого умножим первое уравнение на 3, а второе на 5. Для удобства в ходе решения часто пишут так: $\begin{cases} 6a+5b=14 & | \cdot 3 \\ 4a-3b=-16 & | \cdot 5 \end{cases}$ Получим $\begin{cases} 18a+15b=42 \\ 20a-15b=-80 \end{cases}$ Теперь легко довести решение до конца, сделайте это. Можно поступить иначе: чтобы коэффициенты при $a$ стали противоположными числами, умножьте первое уравнение на 2, а второе на -3.

а) Решим систему уравнений методом алгебраического сложения:
$ \begin{cases} 3a + 5b = 4, \\ 2a - 3b = 9; \end{cases} $
Чтобы коэффициенты при переменной $b$ стали противоположными числами, умножим первое уравнение на 3, а второе на 5:
$ \begin{cases} 3(3a + 5b) = 3 \cdot 4, \\ 5(2a - 3b) = 5 \cdot 9; \end{cases} $
$ \begin{cases} 9a + 15b = 12, \\ 10a - 15b = 45; \end{cases} $
Теперь сложим почленно левые и правые части уравнений:
$(9a + 15b) + (10a - 15b) = 12 + 45$
$19a = 57$
$a = 57 / 19$
$a = 3$
Подставим найденное значение $a = 3$ в первое исходное уравнение системы:
$3(3) + 5b = 4$
$9 + 5b = 4$
$5b = 4 - 9$
$5b = -5$
$b = -1$
Ответ: $a=3, b=-1$.

б) Решим систему уравнений методом алгебраического сложения:
$ \begin{cases} 2x + 3z = 6, \\ 3x + 5z = 8; \end{cases} $
Чтобы коэффициенты при переменной $x$ стали противоположными числами, умножим первое уравнение на 3, а второе на -2:
$ \begin{cases} 3(2x + 3z) = 3 \cdot 6, \\ -2(3x + 5z) = -2 \cdot 8; \end{cases} $
$ \begin{cases} 6x + 9z = 18, \\ -6x - 10z = -16; \end{cases} $
Сложим уравнения:
$(6x + 9z) + (-6x - 10z) = 18 + (-16)$
$-z = 2$
$z = -2$
Подставим найденное значение $z = -2$ в первое исходное уравнение:
$2x + 3(-2) = 6$
$2x - 6 = 6$
$2x = 12$
$x = 6$
Ответ: $x=6, z=-2$.

в) Решим систему уравнений методом алгебраического сложения:
$ \begin{cases} 2x + 3z = 6, \\ 3x + 5z = 8; \end{cases} $
Чтобы коэффициенты при переменной $x$ стали противоположными числами, умножим первое уравнение на 3, а второе на -2:
$ \begin{cases} 3(2x + 3z) = 3 \cdot 6, \\ -2(3x + 5z) = -2 \cdot 8; \end{cases} $
$ \begin{cases} 6x + 9z = 18, \\ -6x - 10z = -16; \end{cases} $
Сложим уравнения:
$(6x + 9z) + (-6x - 10z) = 18 + (-16)$
$-z = 2$
$z = -2$
Подставим найденное значение $z = -2$ в первое исходное уравнение:
$2x + 3(-2) = 6$
$2x - 6 = 6$
$2x = 12$
$x = 6$
Ответ: $x=6, z=-2$.

г) Решим систему уравнений методом алгебраического сложения:
$ \begin{cases} 2m + 5n = 12, \\ 4m + 3n = 10; \end{cases} $
Чтобы коэффициенты при переменной $m$ стали противоположными числами, умножим первое уравнение на -2:
$ \begin{cases} -2(2m + 5n) = -2 \cdot 12, \\ 4m + 3n = 10; \end{cases} $
$ \begin{cases} -4m - 10n = -24, \\ 4m + 3n = 10; \end{cases} $
Сложим уравнения:
$(-4m - 10n) + (4m + 3n) = -24 + 10$
$-7n = -14$
$n = 2$
Подставим найденное значение $n = 2$ в первое исходное уравнение:
$2m + 5(2) = 12$
$2m + 10 = 12$
$2m = 2$
$m = 1$
Ответ: $m=1, n=2$.

д) Решим систему уравнений методом алгебраического сложения:
$ \begin{cases} 6u - 7v = 6, \\ 7u - 8v = 15; \end{cases} $
Чтобы коэффициенты при переменной $u$ стали противоположными числами, умножим первое уравнение на 7, а второе на -6:
$ \begin{cases} 7(6u - 7v) = 7 \cdot 6, \\ -6(7u - 8v) = -6 \cdot 15; \end{cases} $
$ \begin{cases} 42u - 49v = 42, \\ -42u + 48v = -90; \end{cases} $
Сложим уравнения:
$(42u - 49v) + (-42u + 48v) = 42 + (-90)$
$-v = -48$
$v = 48$
Подставим найденное значение $v = 48$ в первое исходное уравнение:
$6u - 7(48) = 6$
$6u - 336 = 6$
$6u = 342$
$u = 57$
Ответ: $u=57, v=48$.

е) Решим систему уравнений методом алгебраического сложения:
$ \begin{cases} 8x - 3y = 22, \\ 3x + 4y = -2; \end{cases} $
Чтобы коэффициенты при переменной $y$ стали противоположными числами, умножим первое уравнение на 4, а второе на 3:
$ \begin{cases} 4(8x - 3y) = 4 \cdot 22, \\ 3(3x + 4y) = 3 \cdot (-2); \end{cases} $
$ \begin{cases} 32x - 12y = 88, \\ 9x + 12y = -6; \end{cases} $
Сложим уравнения:
$(32x - 12y) + (9x + 12y) = 88 + (-6)$
$41x = 82$
$x = 2$
Подставим найденное значение $x = 2$ во второе исходное уравнение:
$3(2) + 4y = -2$
$6 + 4y = -2$
$4y = -8$
$y = -2$
Ответ: $x=2, y=-2$.