Страница 226 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

8.21 В одной системе координат постройте прямые, заданные уравнениями вида $y = kx + l$ с одним и тем же угловым коэффициентом $-\frac{2}{3}$ и коэффициентом $l$, равным $0; 1; 3; -2; -6.$

В задаче требуется построить в одной системе координат несколько прямых, которые задаются уравнением вида $y = kx + l$. Для всех прямых дан один и тот же угловой коэффициент $k = -\frac{2}{3}$ и разные значения коэффициента $l$: $0, 1, 3, -2, -6$.

Угловой коэффициент $k$ отвечает за наклон прямой. Так как он одинаков для всех уравнений, все построенные прямые будут параллельны друг другу.

Коэффициент $l$ (свободный член) показывает, в какой точке прямая пересекает ось ординат (ось OY). Эта точка имеет координаты $(0, l)$.

Для построения каждой прямой достаточно найти координаты двух любых ее точек. Одну точку мы уже знаем — это $(0, l)$. Для нахождения второй точки выберем удобное значение $x$ (чтобы избежать дробей, лучше взять $x$, кратное 3, например $x=3$) и вычислим соответствующее значение $y$.

Рассмотрим каждый случай отдельно.

Уравнение прямой: $y = -\frac{2}{3}x$.

Найдем координаты двух точек:

• Точка 1: при $x = 0$, $y = -\frac{2}{3} \cdot 0 = 0$. Получаем точку $(0, 0)$.
• Точка 2: при $x = 3$, $y = -\frac{2}{3} \cdot 3 = -2$. Получаем точку $(3, -2)$.

В системе координат отмечаем точки $(0, 0)$ и $(3, -2)$ и проводим через них прямую.

Уравнение прямой: $y = -\frac{2}{3}x + 1$.

Найдем координаты двух точек:

• Точка 1: при $x = 0$, $y = 1$. Получаем точку $(0, 1)$.
• Точка 2: при $x = 3$, $y = -\frac{2}{3} \cdot 3 + 1 = -2 + 1 = -1$. Получаем точку $(3, -1)$.

В той же системе координат отмечаем точки $(0, 1)$ и $(3, -1)$ и проводим через них прямую.

Уравнение прямой: $y = -\frac{2}{3}x + 3$.

Найдем координаты двух точек:

• Точка 1: при $x = 0$, $y = 3$. Получаем точку $(0, 3)$.
• Точка 2: при $x = 3$, $y = -\frac{2}{3} \cdot 3 + 3 = -2 + 3 = 1$. Получаем точку $(3, 1)$.

Отмечаем точки $(0, 3)$ и $(3, 1)$ и проводим через них прямую.

Уравнение прямой: $y = -\frac{2}{3}x - 2$.

Найдем координаты двух точек:

• Точка 1: при $x = 0$, $y = -2$. Получаем точку $(0, -2)$.
• Точка 2: при $x = 3$, $y = -\frac{2}{3} \cdot 3 - 2 = -2 - 2 = -4$. Получаем точку $(3, -4)$.

Отмечаем точки $(0, -2)$ и $(3, -4)$ и проводим через них прямую.

Уравнение прямой: $y = -\frac{2}{3}x - 6$.

Найдем координаты двух точек:

• Точка 1: при $x = 0$, $y = -6$. Получаем точку $(0, -6)$.
• Точка 2: при $x = 3$, $y = -\frac{2}{3} \cdot 3 - 6 = -2 - 6 = -8$. Получаем точку $(3, -8)$.

Отмечаем точки $(0, -6)$ и $(3, -8)$ и проводим через них прямую.

В результате на графике будет изображено семейство из пяти параллельных прямых.

Ответ: Для построения необходимо в одной системе координат нанести точки и провести через них пять прямых.
1. Прямая $y = -\frac{2}{3}x$ проходит через точки $(0,0)$ и $(3,-2)$.
2. Прямая $y = -\frac{2}{3}x + 1$ проходит через точки $(0,1)$ и $(3,-1)$.
3. Прямая $y = -\frac{2}{3}x + 3$ проходит через точки $(0,3)$ и $(3,1)$.
4. Прямая $y = -\frac{2}{3}x - 2$ проходит через точки $(0,-2)$ и $(3,-4)$.
5. Прямая $y = -\frac{2}{3}x - 6$ проходит через точки $(0,-6)$ и $(3,-8)$.
Все построенные прямые параллельны друг другу.

8.22 Даны уравнения прямых:

$y = x - 4$, $y = -x - 4$, $y = 2x - 4$, $y = -\frac{1}{2}x - 4$.

1) Есть ли среди данных прямых параллельные прямые?

2) В какой точке каждая прямая пересекает ось y?

3) Постройте эти прямые.

1) Есть ли среди данных прямых параллельные прямые?

Условием параллельности двух прямых, заданных уравнениями вида $y = kx + b$, является равенство их угловых коэффициентов $k$. Прямые параллельны, если $k_1 = k_2$ и $b_1 \neq b_2$. Если $k_1 = k_2$ и $b_1 = b_2$, то прямые совпадают.

Рассмотрим угловые коэффициенты для каждой из данных прямых:

• Для прямой $y = x - 4$ угловой коэффициент $k_1 = 1$.
• Для прямой $y = -x - 4$ угловой коэффициент $k_2 = -1$.
• Для прямой $y = 2x - 4$ угловой коэффициент $k_3 = 2$.
• Для прямой $y = -\frac{1}{2}x - 4$ угловой коэффициент $k_4 = -\frac{1}{2}$.

Сравнивая угловые коэффициенты, видим, что все они различны: $1 \neq -1 \neq 2 \neq -\frac{1}{2}$. Поскольку ни одна пара угловых коэффициентов не совпадает, среди данных прямых нет параллельных.

Ответ: Нет, среди данных прямых параллельных нет, так как их угловые коэффициенты различны.

2) В какой точке каждая прямая пересекает ось y?

Прямая пересекает ось ординат (ось y) в точке, где абсцисса (координата $x$) равна нулю. Для уравнения прямой вида $y = kx + b$ эта точка имеет координаты $(0, b)$, где $b$ — это свободный член (y-перехват).

В данном случае для всех четырех уравнений свободный член $b = -4$:

• $y = x - 4$
• $y = -x - 4$
• $y = 2x - 4$
• $y = -\frac{1}{2}x - 4$

Это означает, что все четыре прямые пересекают ось y в одной и той же точке. Чтобы найти ее координаты, подставим $x=0$ в любое из уравнений: $y = 0 - 4 = -4$.

Ответ: Все прямые пересекают ось y в точке с координатами $(0, -4)$.

3) Постройте эти прямые.

Для построения прямой на координатной плоскости достаточно знать две точки, принадлежащие этой прямой. Одну точку мы уже определили для всех прямых — это точка пересечения с осью y: $(0, -4)$. Найдем вторую точку для каждой прямой, например, точку пересечения с осью абсцисс (осью x), где $y=0$.

1. Для прямой $y = x - 4$:
Точка 1: $(0, -4)$.
Найдем вторую точку (пересечение с осью x): $0 = x - 4 \implies x=4$.
Точка 2: $(4, 0)$.

2. Для прямой $y = -x - 4$:
Точка 1: $(0, -4)$.
Найдем вторую точку: $0 = -x - 4 \implies x=-4$.
Точка 2: $(-4, 0)$.

3. Для прямой $y = 2x - 4$:
Точка 1: $(0, -4)$.
Найдем вторую точку: $0 = 2x - 4 \implies 2x=4 \implies x=2$.
Точка 2: $(2, 0)$.

4. Для прямой $y = -\frac{1}{2}x - 4$:
Точка 1: $(0, -4)$.
Найдем вторую точку: $0 = -\frac{1}{2}x - 4 \implies \frac{1}{2}x = -4 \implies x = -8$.
Точка 2: $(-8, 0)$.

Для построения графика необходимо начертить систему координат XOY, отметить для каждой прямой найденные две точки и провести через них соответствующую прямую линию. Все четыре прямые пройдут через точку $(0, -4)$.

Таблица с координатами точек для построения:

Ответ: Построение выполняется путем нанесения на координатную плоскость двух точек для каждой прямой (согласно таблице) и проведения через них линии. В результате получатся четыре прямые, пересекающиеся в одной точке $(0, -4)$.

АНАЛИЗИРУЕМ И РАССУЖДАЕМ (8.23–8.24)

8.23 На рисунке 8.12 изображены прямые a, b, c и d. Соотнесите каждую из них с одним из следующих уравнений:

$y = \frac{3}{2}x$, $y = \frac{3}{2}x + 5$, $y = \frac{3}{2}x + 2$, $y = \frac{3}{2}x - 4$.

Рис. 8.12

Все представленные уравнения являются уравнениями прямых вида $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — ордината точки пересечения прямой с осью $y$.

Во всех четырех уравнениях угловой коэффициент $k = \frac{3}{2}$. Это означает, что все прямые параллельны друг другу, что и показано на графике. Соотнести каждую прямую с ее уравнением можно, определив ее точку пересечения с осью $y$ (значение $b$).

Прямая a: На графике видно, что эта прямая пересекает ось $y$ в точке с ординатой 5. Следовательно, для нее $b=5$. Это соответствует уравнению $y = \frac{3}{2}x + 5$.
Ответ: $y = \frac{3}{2}x + 5$.

Прямая b: Эта прямая пересекает ось $y$ в точке с ординатой 2. Следовательно, для нее $b=2$. Это соответствует уравнению $y = \frac{3}{2}x + 2$.
Ответ: $y = \frac{3}{2}x + 2$.

Прямая c: Эта прямая проходит через начало координат, то есть пересекает ось $y$ в точке $(0, 0)$. Следовательно, для нее $b=0$. Это соответствует уравнению $y = \frac{3}{2}x$.
Ответ: $y = \frac{3}{2}x$.

Прямая d: Эта прямая пересекает ось $y$ в точке с ординатой -4. Следовательно, для нее $b=-4$. Это соответствует уравнению $y = \frac{3}{2}x - 4$.
Ответ: $y = \frac{3}{2}x - 4$.

8.24 На рисунке 8.13 изображены прямые $a$, $b$, $c$, $d$, $e$. У каких из них угловой коэффициент положителен? отрицателен? равен $0$?

Рис. 8.13

Для ответа на вопрос необходимо вспомнить, как угловой коэффициент $k$ в уравнении прямой $y = kx + b$ влияет на ее расположение на координатной плоскости. Все представленные прямые проходят через начало координат, поэтому их уравнение имеет вид $y = kx$.

Угловой коэффициент положителен
Если угловой коэффициент прямой положителен ($k > 0$), то прямая образует острый угол с положительным направлением оси абсцисс ($Ox$). Графически это означает, что при движении по прямой слева направо мы поднимаемся вверх. На рисунке этому условию соответствуют прямые, расположенные в I и III координатных четвертях. Это прямые a и e.
Ответ: a, e.

Угловой коэффициент отрицателен
Если угловой коэффициент прямой отрицателен ($k < 0$), то прямая образует тупой угол с положительным направлением оси абсцисс ($Ox$). Графически это означает, что при движении по прямой слева направо мы опускаемся вниз. На рисунке этому условию соответствуют прямые, расположенные во II и IV координатных четвертях. Это прямые c и d.
Ответ: c, d.

Угловой коэффициент равен 0
Если угловой коэффициент прямой равен нулю ($k = 0$), то прямая параллельна оси абсцисс ($Ox$). Ее уравнение $y = 0 \cdot x + b$, то есть $y = b$. Поскольку в данном случае прямая проходит через начало координат, ее уравнение $y = 0$. Этому условию соответствует прямая b, которая совпадает с осью $Ox$.
Ответ: b.

8.25 Запишите уравнение прямой, пересекающей ось y в точке (0; 5) и параллельной прямой:

а) $y = 2x - 1;$

б) $y = -7x + 4;$

в) $2x - 3y = 0.$

Для решения задачи воспользуемся уравнением прямой с угловым коэффициентом: $y = kx + b$, где $k$ — это угловой коэффициент (наклон прямой), а $b$ — это ордината точки пересечения прямой с осью $y$.

Из условия задачи известно, что искомая прямая пересекает ось $y$ в точке (0; 5). Это означает, что свободный член $b$ в уравнении прямой равен 5.

Также известно, что искомая прямая параллельна другой прямой. Условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов. Следовательно, нам нужно найти угловой коэффициент $k$ для каждой из заданных прямых и использовать его для построения уравнения искомой прямой.

а)

Рассмотрим прямую $y = 2x - 1$. Это уравнение уже представлено в виде $y = kx + b$. Отсюда видно, что ее угловой коэффициент $k = 2$.

Так как искомая прямая параллельна данной, ее угловой коэффициент также равен 2. Зная $k=2$ и $b=5$, составляем уравнение искомой прямой:

$y = 2x + 5$

Ответ: $y = 2x + 5$.

б)

Рассмотрим прямую $y = -7x + 4$. Ее угловой коэффициент $k = -7$.

Угловой коэффициент параллельной ей прямой также будет равен -7. Подставляем $k=-7$ и $b=5$ в уравнение прямой:

$y = -7x + 5$

Ответ: $y = -7x + 5$.

в)

Рассмотрим прямую, заданную уравнением $2x - 3y = 0$. Чтобы найти ее угловой коэффициент, преобразуем это уравнение к виду $y = kx + b$, выразив $y$:

$-3y = -2x$

$y = \frac{-2x}{-3}$

$y = \frac{2}{3}x$

Из полученного уравнения видно, что угловой коэффициент этой прямой $k = \frac{2}{3}$.

Следовательно, угловой коэффициент искомой прямой также равен $\frac{2}{3}$. Подставляем $k=\frac{2}{3}$ и $b=5$ в уравнение прямой:

$y = \frac{2}{3}x + 5$

Ответ: $y = \frac{2}{3}x + 5$.

8.26 Запишите уравнение прямой, параллельной прямой $y = -\frac{3}{4}x + 2$

и проходящей через точку:

a) (0; -2);

б) (0; 100);

в) (0; 0).

Уравнение прямой в общем виде записывается как $y = kx + b$, где $k$ – это угловой коэффициент (определяет наклон прямой), а $b$ – это свободный член (ордината точки пересечения прямой с осью OY).

Условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов.

В условии дана прямая $y = -\frac{3}{4}x + 2$. Ее угловой коэффициент $k = -\frac{3}{4}$.

Следовательно, любая прямая, параллельная данной, будет иметь уравнение вида $y = -\frac{3}{4}x + b$. Чтобы найти конкретное уравнение для каждого случая, необходимо определить значение коэффициента $b$, используя координаты точки, через которую проходит прямая.

а)

Искомая прямая проходит через точку с координатами $(0; -2)$. Подставим значения $x=0$ и $y=-2$ в уравнение $y = -\frac{3}{4}x + b$, чтобы найти $b$:

$-2 = -\frac{3}{4} \cdot 0 + b$

$-2 = 0 + b$

$b = -2$

Таким образом, уравнение искомой прямой: $y = -\frac{3}{4}x - 2$.

Ответ: $y = -\frac{3}{4}x - 2$

б)

Искомая прямая проходит через точку с координатами $(0; 100)$. Подставим значения $x=0$ и $y=100$ в уравнение $y = -\frac{3}{4}x + b$:

$100 = -\frac{3}{4} \cdot 0 + b$

$100 = 0 + b$

$b = 100$

Таким образом, уравнение искомой прямой: $y = -\frac{3}{4}x + 100$.

Ответ: $y = -\frac{3}{4}x + 100$

в)

Искомая прямая проходит через точку с координатами $(0; 0)$ (начало координат). Подставим значения $x=0$ и $y=0$ в уравнение $y = -\frac{3}{4}x + b$:

$0 = -\frac{3}{4} \cdot 0 + b$

$0 = 0 + b$

$b = 0$

Таким образом, уравнение искомой прямой: $y = -\frac{3}{4}x$.

Ответ: $y = -\frac{3}{4}x$