Номер 8.22, страница 226 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 8.2. Уравнение прямой вида у = kx + l. Глава 8. Системы уравнений - номер 8.22, страница 226.

Условие.

8.22 Даны уравнения прямых:

$y = x - 4$, $y = -x - 4$, $y = 2x - 4$, $y = -\frac{1}{2}x - 4$.

1) Есть ли среди данных прямых параллельные прямые?

2) В какой точке каждая прямая пересекает ось y?

3) Постройте эти прямые.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

1) Есть ли среди данных прямых параллельные прямые?

Условием параллельности двух прямых, заданных уравнениями вида $y = kx + b$, является равенство их угловых коэффициентов $k$. Прямые параллельны, если $k_1 = k_2$ и $b_1 \neq b_2$. Если $k_1 = k_2$ и $b_1 = b_2$, то прямые совпадают.

Рассмотрим угловые коэффициенты для каждой из данных прямых:

• Для прямой $y = x - 4$ угловой коэффициент $k_1 = 1$.
• Для прямой $y = -x - 4$ угловой коэффициент $k_2 = -1$.
• Для прямой $y = 2x - 4$ угловой коэффициент $k_3 = 2$.
• Для прямой $y = -\frac{1}{2}x - 4$ угловой коэффициент $k_4 = -\frac{1}{2}$.

Сравнивая угловые коэффициенты, видим, что все они различны: $1 \neq -1 \neq 2 \neq -\frac{1}{2}$. Поскольку ни одна пара угловых коэффициентов не совпадает, среди данных прямых нет параллельных.

Ответ: Нет, среди данных прямых параллельных нет, так как их угловые коэффициенты различны.

2) В какой точке каждая прямая пересекает ось y?

Прямая пересекает ось ординат (ось y) в точке, где абсцисса (координата $x$) равна нулю. Для уравнения прямой вида $y = kx + b$ эта точка имеет координаты $(0, b)$, где $b$ — это свободный член (y-перехват).

В данном случае для всех четырех уравнений свободный член $b = -4$:

• $y = x - 4$
• $y = -x - 4$
• $y = 2x - 4$
• $y = -\frac{1}{2}x - 4$

Это означает, что все четыре прямые пересекают ось y в одной и той же точке. Чтобы найти ее координаты, подставим $x=0$ в любое из уравнений: $y = 0 - 4 = -4$.

Ответ: Все прямые пересекают ось y в точке с координатами $(0, -4)$.

3) Постройте эти прямые.

Для построения прямой на координатной плоскости достаточно знать две точки, принадлежащие этой прямой. Одну точку мы уже определили для всех прямых — это точка пересечения с осью y: $(0, -4)$. Найдем вторую точку для каждой прямой, например, точку пересечения с осью абсцисс (осью x), где $y=0$.

1. Для прямой $y = x - 4$:
Точка 1: $(0, -4)$.
Найдем вторую точку (пересечение с осью x): $0 = x - 4 \implies x=4$.
Точка 2: $(4, 0)$.

2. Для прямой $y = -x - 4$:
Точка 1: $(0, -4)$.
Найдем вторую точку: $0 = -x - 4 \implies x=-4$.
Точка 2: $(-4, 0)$.

3. Для прямой $y = 2x - 4$:
Точка 1: $(0, -4)$.
Найдем вторую точку: $0 = 2x - 4 \implies 2x=4 \implies x=2$.
Точка 2: $(2, 0)$.

4. Для прямой $y = -\frac{1}{2}x - 4$:
Точка 1: $(0, -4)$.
Найдем вторую точку: $0 = -\frac{1}{2}x - 4 \implies \frac{1}{2}x = -4 \implies x = -8$.
Точка 2: $(-8, 0)$.

Для построения графика необходимо начертить систему координат XOY, отметить для каждой прямой найденные две точки и провести через них соответствующую прямую линию. Все четыре прямые пройдут через точку $(0, -4)$.

Таблица с координатами точек для построения:

Уравнение прямой	Точка 1 (на оси Y)	Точка 2 (на оси X)
$y = x - 4$	$(0, -4)$	$(4, 0)$
$y = -x - 4$	$(0, -4)$	$(-4, 0)$
$y = 2x - 4$	$(0, -4)$	$(2, 0)$
$y = -\frac{1}{2}x - 4$	$(0, -4)$	$(-8, 0)$

Ответ: Построение выполняется путем нанесения на координатную плоскость двух точек для каждой прямой (согласно таблице) и проведения через них линии. В результате получатся четыре прямые, пересекающиеся в одной точке $(0, -4)$.