Номер 3, страница 230 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Сколько решений может иметь система двух линейных уравнений с двумя переменными? Найдите в учебном пособии соответствующие примеры.

Система двух линейных уравнений с двумя переменными вида $ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $ может иметь одно решение, не иметь решений или иметь бесконечно много решений. Это зависит от соотношения коэффициентов $a_1, b_1, c_1$ и $a_2, b_2, c_2$.

Геометрически каждое линейное уравнение с двумя переменными представляет собой прямую на координатной плоскости. Решение системы — это точка (или точки) пересечения этих прямых.

1. Система имеет одно решение

Это происходит, когда прямые, являющиеся графиками уравнений, пересекаются в одной точке. Алгебраически это означает, что отношение коэффициентов при переменных $x$ и $y$ не равны:

$ \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} $

Пример:

Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} 2x - y = 1 \\ x + y = 5 \end{cases} $

Здесь $ \frac{2}{1} \neq \frac{-1}{1} $. Решим систему методом сложения. Сложим два уравнения:

$ (2x - y) + (x + y) = 1 + 5 $

$ 3x = 6 $

$ x = 2 $

Подставим значение $x=2$ в любое из уравнений, например во второе:

$ 2 + y = 5 $

$ y = 3 $

Система имеет единственное решение — пару чисел $(2; 3)$.

Ответ: система может иметь одно решение.

2. Система не имеет решений

Это происходит, когда прямые, являющиеся графиками уравнений, параллельны и не совпадают. Алгебраически это означает, что отношения коэффициентов при переменных равны, но не равны отношению свободных членов:

$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} $

Пример:

Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} 3x + 2y = 7 \\ 6x + 4y = 8 \end{cases} $

Здесь $ \frac{3}{6} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $, но $ \frac{7}{8} $. Таким образом, $ \frac{1}{2} \neq \frac{7}{8} $. Умножим первое уравнение на 2:

$ 6x + 4y = 14 $

Теперь система выглядит так: $ \begin{cases} 6x + 4y = 14 \\ 6x + 4y = 8 \end{cases} $

Из этой системы следует, что $14 = 8$, что является ложным равенством. Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: система может не иметь решений.

3. Система имеет бесконечно много решений

Это происходит, когда прямые, являющиеся графиками уравнений, совпадают. Алгебраически это означает, что отношения коэффициентов при переменных и отношения свободных членов равны:

$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} $

Пример:

Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} x - 5y = 3 \\ 2x - 10y = 6 \end{cases} $

Здесь $ \frac{1}{2} = \frac{-5}{-10} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $. Если мы разделим второе уравнение на 2, мы получим первое уравнение:

$ (2x - 10y) : 2 = 6 : 2 \implies x - 5y = 3 $

Система состоит из двух одинаковых уравнений: $ \begin{cases} x - 5y = 3 \\ x - 5y = 3 \end{cases} $

Любая пара чисел $(x, y)$, которая является решением первого уравнения, также является решением второго. Таких пар бесконечно много. Например, можно выразить $x$ через $y$: $x = 3 + 5y$. Придавая $y$ любое значение, мы будем получать соответствующее значение $x$.

Ответ: система может иметь бесконечно много решений.