Номер 8.30, страница 231 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

8.30 Решите систему уравнений двумя способами, исключив в первом случае одну переменную, а во втором — другую:

а) $\begin{cases} 3x - 2y = 10 \\ 9x + 4y = 40 \end{cases}$ б) $\begin{cases} a + b = 5 \\ 3a - 5b = -1 \end{cases}$ в) $\begin{cases} p - 4q = 2 \\ 3p - 2q = 16 \end{cases}$

Подсказка. а) Способ 1: умножьте первое уравнение системы на -3 и решите систему. Способ 2: умножьте первое уравнение системы на 2 и решите систему.

Исходная система уравнений:

$\begin{cases} 3x - 2y = 10 \\ 9x + 4y = 40 \end{cases}$

Способ 1: исключаем переменную x (согласно подсказке)

Чтобы исключить переменную $x$, нужно сделать коэффициенты при $x$ в обоих уравнениях противоположными по знаку. Умножим первое уравнение на $-3$.

$-3 \cdot (3x - 2y) = -3 \cdot 10 \implies -9x + 6y = -30$

Теперь система имеет вид:

$\begin{cases} -9x + 6y = -30 \\ 9x + 4y = 40 \end{cases}$

Сложим почленно левые и правые части уравнений:

$(-9x + 6y) + (9x + 4y) = -30 + 40$

$10y = 10$

$y = 1$

Подставим найденное значение $y = 1$ в первое исходное уравнение, чтобы найти $x$:

$3x - 2(1) = 10$

$3x - 2 = 10$

$3x = 12$

$x = 4$

Способ 2: исключаем переменную y (согласно подсказке)

Чтобы исключить переменную $y$, нужно сделать коэффициенты при $y$ противоположными. Умножим первое уравнение на $2$.

$2 \cdot (3x - 2y) = 2 \cdot 10 \implies 6x - 4y = 20$

Теперь система имеет вид:

$\begin{cases} 6x - 4y = 20 \\ 9x + 4y = 40 \end{cases}$

Сложим почленно уравнения:

$(6x - 4y) + (9x + 4y) = 20 + 40$

$15x = 60$

$x = 4$

Подставим найденное значение $x = 4$ в первое исходное уравнение, чтобы найти $y$:

$3(4) - 2y = 10$

$12 - 2y = 10$

$-2y = 10 - 12$

$-2y = -2$

$y = 1$

Ответ: $(4; 1)$

Исходная система уравнений:

$\begin{cases} a + b = 5 \\ 3a - 5b = -1 \end{cases}$

Способ 1: исключаем переменную a

Умножим первое уравнение на $-3$, чтобы коэффициенты при $a$ стали противоположными.

$-3(a + b) = -3 \cdot 5 \implies -3a - 3b = -15$

Система примет вид:

$\begin{cases} -3a - 3b = -15 \\ 3a - 5b = -1 \end{cases}$

Сложим уравнения:

$(-3a - 3b) + (3a - 5b) = -15 + (-1)$

$-8b = -16$

$b = 2$

Подставим $b=2$ в первое исходное уравнение ($a+b=5$):

$a + 2 = 5$

$a = 3$

Способ 2: исключаем переменную b

Умножим первое уравнение на $5$, чтобы коэффициенты при $b$ стали противоположными.

$5(a + b) = 5 \cdot 5 \implies 5a + 5b = 25$

Система примет вид:

$\begin{cases} 5a + 5b = 25 \\ 3a - 5b = -1 \end{cases}$

Сложим уравнения:

$(5a + 5b) + (3a - 5b) = 25 + (-1)$

$8a = 24$

$a = 3$

Подставим $a=3$ в первое исходное уравнение ($a+b=5$):

$3 + b = 5$

$b = 2$

Ответ: $(3; 2)$

Исходная система уравнений:

$\begin{cases} p - 4q = 2 \\ 3p - 2q = 16 \end{cases}$

Способ 1: исключаем переменную p

Умножим первое уравнение на $-3$, чтобы коэффициенты при $p$ стали противоположными.

$-3(p - 4q) = -3 \cdot 2 \implies -3p + 12q = -6$

Система примет вид:

$\begin{cases} -3p + 12q = -6 \\ 3p - 2q = 16 \end{cases}$

Сложим уравнения:

$(-3p + 12q) + (3p - 2q) = -6 + 16$

$10q = 10$

$q = 1$

Подставим $q=1$ в первое исходное уравнение ($p - 4q = 2$):

$p - 4(1) = 2$

$p - 4 = 2$

$p = 6$

Способ 2: исключаем переменную q

Чтобы коэффициенты при $q$ стали противоположными, умножим второе уравнение на $-2$. Коэффициент при $q$ во втором уравнении станет $(-2) \cdot (-2) = 4$, что является противоположностью коэффициенту $-4$ в первом уравнении.

$-2(3p - 2q) = -2 \cdot 16 \implies -6p + 4q = -32$

Система примет вид:

$\begin{cases} p - 4q = 2 \\ -6p + 4q = -32 \end{cases}$

Сложим уравнения:

$(p - 4q) + (-6p + 4q) = 2 + (-32)$

$p - 6p = -30$

$-5p = -30$

$p = 6$

Подставим $p=6$ в первое исходное уравнение ($p - 4q = 2$):

$6 - 4q = 2$

$-4q = 2 - 6$

$-4q = -4$

$q = 1$

Ответ: $(6; 1)$