Номер 8.27, страница 230 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

8.27 На рисунке 8.17 изображены прямые, проходящие через точку (2; 4). Какие системы двух уравнений с двумя переменными, имеющие решением пару чисел (2; 4), можно составить по этому рисунку? Запишите их все.

Система 1

$x+y=6$

$x-y=2$

Система 2

$x+y=6$

$2x-y=0$

Система 3

$x+y=6$

$6x-y=8$

Система 4

$x-y=2$

$2x-y=0$

Система 5

$x-y=2$

$6x-y=8$

Система 6

$2x-y=0$

$6x-y=8$

Рис. 8.17

Решением системы двух линейных уравнений с двумя переменными является точка пересечения графиков этих уравнений. На рисунке изображены четыре прямые, которые пересекаются в одной точке с координатами (2; 4). Это означает, что пара чисел ($x=2$; $y=4$) является решением для каждого из четырех данных уравнений.

Давайте проверим это, подставив значения $x=2$ и $y=4$ в каждое из уравнений, данных на рисунке:

• Уравнение $x - y = -2$: $2 - 4 = -2$. Равенство верное.
• Уравнение $x + y = 6$: $2 + 4 = 6$. Равенство верное.
• Уравнение $2x - y = 0$: $2(2) - 4 = 4 - 4 = 0$. Равенство верное.
• Уравнение $6x - y = 8$: $6(2) - 4 = 12 - 4 = 8$. Равенство верное.

Поскольку все четыре прямые пересекаются в точке (2; 4), любую пару этих прямых можно рассматривать как графическое решение системы двух уравнений, решением которой будет пара чисел (2; 4).

Чтобы найти все возможные системы, нужно составить все возможные пары из данных четырех уравнений. Количество таких пар (систем) можно найти с помощью формулы для числа сочетаний из $n$ элементов по $k$: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$. В нашем случае $n=4$ (количество уравнений), а $k=2$ (поскольку система состоит из двух уравнений): $$ C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6 $$ Таким образом, можно составить 6 различных систем уравнений. Запишем их все.

1. $$ \begin{cases} x - y = -2 \\ x + y = 6 \end{cases} $$ Ответ: (2; 4)

2. $$ \begin{cases} x - y = -2 \\ 2x - y = 0 \end{cases} $$ Ответ: (2; 4)

3. $$ \begin{cases} x - y = -2 \\ 6x - y = 8 \end{cases} $$ Ответ: (2; 4)

4. $$ \begin{cases} x + y = 6 \\ 2x - y = 0 \end{cases} $$ Ответ: (2; 4)

5. $$ \begin{cases} x + y = 6 \\ 6x - y = 8 \end{cases} $$ Ответ: (2; 4)

6. $$ \begin{cases} 2x - y = 0 \\ 6x - y = 8 \end{cases} $$ Ответ: (2; 4)