Номер 2, страница 230 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Вопросы. 8.3. Системы уравнений. Решение систем способом сложения. Глава 8. Системы уравнений - номер 2, страница 230.

Условие.

Как решают систему двух уравнений с двумя переменными способом сложения (фрагмент 2)? Какими могут быть первые шаги в решении систем

$\begin{cases} 4x + y = -2, \\ 3x - y = -1 \end{cases}$ и $\begin{cases} 2x + 4y = 2, \\ 2x - 5y = 20? \end{cases}$

Решение 6.

Метод сложения для решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными заключается в том, чтобы путём преобразований уравнений получить коэффициенты при одной из переменных, которые являются противоположными числами. Затем уравнения складываются, что приводит к исключению этой переменной и получению простого уравнения с одной неизвестной. Алгоритм решения следующий:

1. При необходимости умножить одно или оба уравнения системы на такие числа, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными.
2. Сложить почленно левые и правые части уравнений.
3. Решить полученное уравнение с одной переменной.
4. Подставить найденное значение переменной в любое из исходных уравнений и найти значение второй переменной.
5. Записать ответ.

Ниже описаны первые шаги и полные решения для указанных систем.

$ \begin{cases} 4x + y = -2 \\ 3x - y = -1 \end{cases} $

Первым шагом в решении этой системы является анализ коэффициентов при переменных. Мы видим, что коэффициенты при переменной $y$ уже являются противоположными числами ($+1$ и $-1$). Это идеальная ситуация для метода сложения, так как не требуется предварительно умножать уравнения на какие-либо множители. Поэтому первый шаг — сразу сложить два уравнения.

Выполним сложение:
$(4x + y) + (3x - y) = -2 + (-1)$
$7x = -3$
$x = -\frac{3}{7}$

Теперь подставим найденное значение $x$ в первое уравнение системы, чтобы найти $y$:
$4 \cdot (-\frac{3}{7}) + y = -2$
$-\frac{12}{7} + y = -2$
$y = -2 + \frac{12}{7} = -\frac{14}{7} + \frac{12}{7} = -\frac{2}{7}$

Ответ: $(-\frac{3}{7}; -\frac{2}{7})$

$ \begin{cases} 2x + 4y = 2 \\ 2x - 5y = 20 \end{cases} $

Первым шагом в решении этой системы также является анализ коэффициентов. Коэффициенты при переменной $y$ ($+4$ и $-5$) не являются противоположными. Коэффициенты при переменной $x$ ($+2$ и $+2$) равны. Чтобы сделать их противоположными, достаточно умножить одно из уравнений на $-1$. Это и будет первым шагом. Умножим, например, второе уравнение на $-1$.

Выполним этот шаг:
$ \begin{cases} 2x + 4y = 2 \\ (2x - 5y) \cdot (-1) = 20 \cdot (-1) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x + 4y = 2 \\ -2x + 5y = -20 \end{cases} $

Теперь, когда коэффициенты при $x$ стали противоположными, сложим уравнения:
$(2x + 4y) + (-2x + 5y) = 2 + (-20)$
$9y = -18$
$y = -2$

Подставим найденное значение $y$ в первое исходное уравнение:
$2x + 4(-2) = 2$
$2x - 8 = 2$
$2x = 10$
$x = 5$

Ответ: $(5; -2)$