Страница 230 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Что называется решением системы уравнений с двумя переменными? Какая из пар: (5; 0) или (10; 2) – является решением системы $ \begin{cases} 2x - 5y = 10, \\ x - 6y = -2 \end{cases} ?$

Что называется решением системы уравнений с двумя переменными?

Решением системы уравнений с двумя переменными называется упорядоченная пара чисел (например, $(x_0; y_0)$), которая при подстановке в каждое уравнение системы обращает его в верное числовое равенство. Другими словами, эта пара значений переменных должна удовлетворять одновременно всем уравнениям, входящим в систему.

Ответ: упорядоченная пара чисел, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство.

Какая из пар: (5; 0) или (10; 2) – является решением системы $\begin{cases} 2x - 5y = 10, \\ x - 6y = -2 \end{cases}$?

Чтобы определить, какая из пар является решением, нужно подставить значения переменных из каждой пары в оба уравнения системы и проверить, выполняются ли равенства.

1. Проверка пары (5; 0)

Подставим $x = 5$ и $y = 0$ в систему уравнений:

Первое уравнение: $2x - 5y = 10$

$2 \cdot 5 - 5 \cdot 0 = 10 - 0 = 10$

$10 = 10$ (верно)

Второе уравнение: $x - 6y = -2$

$5 - 6 \cdot 0 = 5 - 0 = 5$

$5 = -2$ (неверно)

Поскольку пара чисел (5; 0) не удовлетворяет второму уравнению системы, она не является ее решением.

2. Проверка пары (10; 2)

Подставим $x = 10$ и $y = 2$ в систему уравнений:

Первое уравнение: $2x - 5y = 10$

$2 \cdot 10 - 5 \cdot 2 = 20 - 10 = 10$

$10 = 10$ (верно)

Второе уравнение: $x - 6y = -2$

$10 - 6 \cdot 2 = 10 - 12 = -2$

$-2 = -2$ (верно)

Поскольку пара чисел (10; 2) удовлетворяет обоим уравнениям системы, она является ее решением.

Ответ: решением системы является пара (10; 2).

Как решают систему двух уравнений с двумя переменными способом сложения (фрагмент 2)? Какими могут быть первые шаги в решении систем

$\begin{cases} 4x + y = -2, \\ 3x - y = -1 \end{cases}$ и $\begin{cases} 2x + 4y = 2, \\ 2x - 5y = 20? \end{cases}$

Метод сложения для решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными заключается в том, чтобы путём преобразований уравнений получить коэффициенты при одной из переменных, которые являются противоположными числами. Затем уравнения складываются, что приводит к исключению этой переменной и получению простого уравнения с одной неизвестной. Алгоритм решения следующий:

1. При необходимости умножить одно или оба уравнения системы на такие числа, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными.
2. Сложить почленно левые и правые части уравнений.
3. Решить полученное уравнение с одной переменной.
4. Подставить найденное значение переменной в любое из исходных уравнений и найти значение второй переменной.
5. Записать ответ.

Ниже описаны первые шаги и полные решения для указанных систем.

$ \begin{cases} 4x + y = -2 \\ 3x - y = -1 \end{cases} $

Первым шагом в решении этой системы является анализ коэффициентов при переменных. Мы видим, что коэффициенты при переменной $y$ уже являются противоположными числами ($+1$ и $-1$). Это идеальная ситуация для метода сложения, так как не требуется предварительно умножать уравнения на какие-либо множители. Поэтому первый шаг — сразу сложить два уравнения.

Выполним сложение:
$(4x + y) + (3x - y) = -2 + (-1)$
$7x = -3$
$x = -\frac{3}{7}$

Теперь подставим найденное значение $x$ в первое уравнение системы, чтобы найти $y$:
$4 \cdot (-\frac{3}{7}) + y = -2$
$-\frac{12}{7} + y = -2$
$y = -2 + \frac{12}{7} = -\frac{14}{7} + \frac{12}{7} = -\frac{2}{7}$

Ответ: $(-\frac{3}{7}; -\frac{2}{7})$

$ \begin{cases} 2x + 4y = 2 \\ 2x - 5y = 20 \end{cases} $

Первым шагом в решении этой системы также является анализ коэффициентов. Коэффициенты при переменной $y$ ($+4$ и $-5$) не являются противоположными. Коэффициенты при переменной $x$ ($+2$ и $+2$) равны. Чтобы сделать их противоположными, достаточно умножить одно из уравнений на $-1$. Это и будет первым шагом. Умножим, например, второе уравнение на $-1$.

Выполним этот шаг:
$ \begin{cases} 2x + 4y = 2 \\ (2x - 5y) \cdot (-1) = 20 \cdot (-1) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x + 4y = 2 \\ -2x + 5y = -20 \end{cases} $

Теперь, когда коэффициенты при $x$ стали противоположными, сложим уравнения:
$(2x + 4y) + (-2x + 5y) = 2 + (-20)$
$9y = -18$
$y = -2$

Подставим найденное значение $y$ в первое исходное уравнение:
$2x + 4(-2) = 2$
$2x - 8 = 2$
$2x = 10$
$x = 5$

Ответ: $(5; -2)$

Сколько решений может иметь система двух линейных уравнений с двумя переменными? Найдите в учебном пособии соответствующие примеры.

Система двух линейных уравнений с двумя переменными вида $ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $ может иметь одно решение, не иметь решений или иметь бесконечно много решений. Это зависит от соотношения коэффициентов $a_1, b_1, c_1$ и $a_2, b_2, c_2$.

Геометрически каждое линейное уравнение с двумя переменными представляет собой прямую на координатной плоскости. Решение системы — это точка (или точки) пересечения этих прямых.

1. Система имеет одно решение

Это происходит, когда прямые, являющиеся графиками уравнений, пересекаются в одной точке. Алгебраически это означает, что отношение коэффициентов при переменных $x$ и $y$ не равны:

$ \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} $

Пример:

Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} 2x - y = 1 \\ x + y = 5 \end{cases} $

Здесь $ \frac{2}{1} \neq \frac{-1}{1} $. Решим систему методом сложения. Сложим два уравнения:

$ (2x - y) + (x + y) = 1 + 5 $

$ 3x = 6 $

$ x = 2 $

Подставим значение $x=2$ в любое из уравнений, например во второе:

$ 2 + y = 5 $

$ y = 3 $

Система имеет единственное решение — пару чисел $(2; 3)$.

Ответ: система может иметь одно решение.

2. Система не имеет решений

Это происходит, когда прямые, являющиеся графиками уравнений, параллельны и не совпадают. Алгебраически это означает, что отношения коэффициентов при переменных равны, но не равны отношению свободных членов:

$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} $

Пример:

Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} 3x + 2y = 7 \\ 6x + 4y = 8 \end{cases} $

Здесь $ \frac{3}{6} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $, но $ \frac{7}{8} $. Таким образом, $ \frac{1}{2} \neq \frac{7}{8} $. Умножим первое уравнение на 2:

$ 6x + 4y = 14 $

Теперь система выглядит так: $ \begin{cases} 6x + 4y = 14 \\ 6x + 4y = 8 \end{cases} $

Из этой системы следует, что $14 = 8$, что является ложным равенством. Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: система может не иметь решений.

3. Система имеет бесконечно много решений

Это происходит, когда прямые, являющиеся графиками уравнений, совпадают. Алгебраически это означает, что отношения коэффициентов при переменных и отношения свободных членов равны:

$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} $

Пример:

Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} x - 5y = 3 \\ 2x - 10y = 6 \end{cases} $

Здесь $ \frac{1}{2} = \frac{-5}{-10} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $. Если мы разделим второе уравнение на 2, мы получим первое уравнение:

$ (2x - 10y) : 2 = 6 : 2 \implies x - 5y = 3 $

Система состоит из двух одинаковых уравнений: $ \begin{cases} x - 5y = 3 \\ x - 5y = 3 \end{cases} $

Любая пара чисел $(x, y)$, которая является решением первого уравнения, также является решением второго. Таких пар бесконечно много. Например, можно выразить $x$ через $y$: $x = 3 + 5y$. Придавая $y$ любое значение, мы будем получать соответствующее значение $x$.

Ответ: система может иметь бесконечно много решений.

Составьте систему уравнений по условию задачи:

Конверт и две открытки вместе стоят 175 р., а такие же два конверта и открытка вместе стоят 125 р. Сколько стоит конверт и сколько стоит открытка?

Переменные:

$x$ - стоимость конверта

$y$ - стоимость открытки

Система уравнений:

$\begin{cases} x + 2y = 175 \\ 2x + y = 125 \end{cases}$

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — это стоимость одного конверта в рублях, а $y$ — стоимость одной открытки в рублях.

Согласно первому условию, "Конверт и две открытки вместе стоят 175 р.", составим первое уравнение:

$x + 2y = 175$

Согласно второму условию, "два конверта и открытка вместе стоят 125 р.", составим второе уравнение:

$2x + y = 125$

Получим систему уравнений:

$ \begin{cases} x + 2y = 175 \\ 2x + y = 125 \end{cases} $

Решим эту систему методом подстановки. Выразим переменную $y$ из второго уравнения:

$y = 125 - 2x$

Теперь подставим полученное выражение в первое уравнение системы:

$x + 2(125 - 2x) = 175$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x$:

$x + 250 - 4x = 175$

$250 - 3x = 175$

Перенесем 250 в правую часть уравнения:

$-3x = 175 - 250$

$-3x = -75$

Найдем $x$:

$x = \frac{-75}{-3}$

$x = 25$

Таким образом, стоимость одного конверта равна 25 рублям. Теперь найдем стоимость открытки, подставив значение $x$ в выражение для $y$:

$y = 125 - 2 \cdot 25$

$y = 125 - 50$

$y = 75$

Стоимость одной открытки равна 75 рублям.

Выполним проверку:

1 конверт (25 р.) + 2 открытки (2 * 75 р.) = $25 + 150 = 175$ р. — верно.

2 конверта (2 * 25 р.) + 1 открытка (75 р.) = $50 + 75 = 125$ р. — верно.

Ответ: стоимость конверта — 25 рублей, стоимость открытки — 75 рублей.

8.27 На рисунке 8.17 изображены прямые, проходящие через точку (2; 4). Какие системы двух уравнений с двумя переменными, имеющие решением пару чисел (2; 4), можно составить по этому рисунку? Запишите их все.

Система 1

$x+y=6$

$x-y=2$

Система 2

$x+y=6$

$2x-y=0$

Система 3

$x+y=6$

$6x-y=8$

Система 4

$x-y=2$

$2x-y=0$

Система 5

$x-y=2$

$6x-y=8$

Система 6

$2x-y=0$

$6x-y=8$

Рис. 8.17

Решением системы двух линейных уравнений с двумя переменными является точка пересечения графиков этих уравнений. На рисунке изображены четыре прямые, которые пересекаются в одной точке с координатами (2; 4). Это означает, что пара чисел ($x=2$; $y=4$) является решением для каждого из четырех данных уравнений.

Давайте проверим это, подставив значения $x=2$ и $y=4$ в каждое из уравнений, данных на рисунке:

• Уравнение $x - y = -2$: $2 - 4 = -2$. Равенство верное.
• Уравнение $x + y = 6$: $2 + 4 = 6$. Равенство верное.
• Уравнение $2x - y = 0$: $2(2) - 4 = 4 - 4 = 0$. Равенство верное.
• Уравнение $6x - y = 8$: $6(2) - 4 = 12 - 4 = 8$. Равенство верное.

Поскольку все четыре прямые пересекаются в точке (2; 4), любую пару этих прямых можно рассматривать как графическое решение системы двух уравнений, решением которой будет пара чисел (2; 4).

Чтобы найти все возможные системы, нужно составить все возможные пары из данных четырех уравнений. Количество таких пар (систем) можно найти с помощью формулы для числа сочетаний из $n$ элементов по $k$: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$. В нашем случае $n=4$ (количество уравнений), а $k=2$ (поскольку система состоит из двух уравнений): $$ C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6 $$ Таким образом, можно составить 6 различных систем уравнений. Запишем их все.

1. $$ \begin{cases} x - y = -2 \\ x + y = 6 \end{cases} $$ Ответ: (2; 4)

2. $$ \begin{cases} x - y = -2 \\ 2x - y = 0 \end{cases} $$ Ответ: (2; 4)

3. $$ \begin{cases} x - y = -2 \\ 6x - y = 8 \end{cases} $$ Ответ: (2; 4)

4. $$ \begin{cases} x + y = 6 \\ 2x - y = 0 \end{cases} $$ Ответ: (2; 4)

5. $$ \begin{cases} x + y = 6 \\ 6x - y = 8 \end{cases} $$ Ответ: (2; 4)

6. $$ \begin{cases} 2x - y = 0 \\ 6x - y = 8 \end{cases} $$ Ответ: (2; 4)