Страница 224 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Прямая задана уравнением вида $y = kx + l$. Назовите коэффициенты $k$ и $l$:

а) $y = 7x + 3;$

б) $y = 3x - 1;$

в) $y = -0,2x;$

г) $y = 2 - 5x.$

Уравнение прямой в общем виде задается формулой $y = kx + l$. В этой формуле коэффициент $k$ называется угловым коэффициентом, он стоит перед $x$. Коэффициент $l$ — это свободный член, то есть число без переменной. Для того чтобы найти коэффициенты $k$ и $l$, нужно сравнить каждое данное уравнение с общей формулой.

а) $y = 7x + 3$
Сравниваем уравнение $y = 7x + 3$ с общей формой $y = kx + l$.
Коэффициент при $x$ равен $7$, значит, $k = 7$.
Свободный член равен $3$, значит, $l = 3$.
Ответ: $k=7$, $l=3$.

б) $y = 3x - 1$
Сравниваем уравнение $y = 3x - 1$ с общей формой $y = kx + l$.
Коэффициент при $x$ равен $3$, значит, $k = 3$.
Свободный член равен $-1$, значит, $l = -1$.
Ответ: $k=3$, $l=-1$.

в) $y = -0,2x$
В этом уравнении отсутствует свободный член, что означает, что он равен нулю. Уравнение можно записать как $y = -0,2x + 0$.
Сравниваем с общей формой $y = kx + l$.
Коэффициент при $x$ равен $-0,2$, значит, $k = -0,2$.
Свободный член равен $0$, значит, $l = 0$.
Ответ: $k=-0,2$, $l=0$.

г) $y = 2 - 5x$
Чтобы привести это уравнение к стандартному виду $y = kx + l$, поменяем слагаемые местами: $y = -5x + 2$.
Теперь сравниваем с общей формой $y = kx + l$.
Коэффициент при $x$ равен $-5$, значит, $k = -5$.
Свободный член равен $2$, значит, $l = 2$.
Ответ: $k=-5$, $l=2$.

Разберите фрагмент 2 и выполните задания:

1) Объясните, почему прямая, которая задаётся уравнением вида $y = kx$, проходит через начало координат.

2) Покажите на рисунке, как расположена в координатной плоскости прямая $y = kx$ при $k > 0$ и при $k < 0$.

3) Покажите схематически, как в координатной плоскости располагаются по отношению друг к другу прямые $y = 1,3x$ и $y = 5,7x$.

1) Объясните, почему прямая, которая задаётся уравнением вида y = kx, проходит через начало координат.

Начало координат — это точка с координатами $(0, 0)$. Чтобы проверить, проходит ли прямая через эту точку, нужно подставить её координаты ($x=0$ и $y=0$) в уравнение прямой.

Подставим значения в уравнение $y = kx$:

$0 = k \cdot 0$

Вне зависимости от значения коэффициента $k$, это равенство всегда будет верным, так как любое число, умноженное на ноль, равно нулю. Получаем тождество $0 = 0$.

Это означает, что точка с координатами $(0, 0)$ всегда удовлетворяет уравнению $y = kx$. Следовательно, прямая, заданная этим уравнением, всегда проходит через начало координат.

Ответ: Прямая $y=kx$ проходит через начало координат, потому что координаты этой точки $(0,0)$ при подстановке в уравнение ($0 = k \cdot 0$) превращают его в верное равенство $0=0$ при любом значении $k$.

2) Покажите на рисунке, как расположена в координатной плоскости прямая y = kx при k > 0 и при k < 0.

Прямая $y=kx$ является графиком прямой пропорциональности. Положение этой прямой зависит от знака углового коэффициента $k$.

• При $k > 0$ функция является возрастающей. Если $x > 0$, то $y > 0$; если $x < 0$, то $y < 0$. Следовательно, прямая расположена в I и III координатных четвертях.
• При $k < 0$ функция является убывающей. Если $x > 0$, то $y < 0$; если $x < 0$, то $y > 0$. Следовательно, прямая расположена во II и IV координатных четвертях.

Схематически это выглядит так:

Ответ: На рисунке показано, что при $k > 0$ прямая проходит через I и III четверти, а при $k < 0$ — через II и IV четверти.

3) Покажите схематически, как в координатной плоскости располагаются по отношению друг к другу прямые y = 1,3x и y = 5,7x.

Обе прямые, $y = 1,3x$ и $y = 5,7x$, имеют вид $y = kx$, поэтому обе проходят через начало координат.

Угловые коэффициенты обеих прямых положительны: $k_1 = 1,3$ и $k_2 = 5,7$. Это значит, что обе прямые расположены в I и III координатных четвертях.

Угловой коэффициент $k$ определяет угол наклона прямой к положительному направлению оси Ох. Чем больше значение $k$, тем "круче" идет прямая, то есть тем ближе она расположена к оси Оy.

Поскольку $5,7 > 1,3$, прямая $y = 5,7x$ будет расположена "круче", чем прямая $y = 1,3x$. В первой четверти график $y = 5,7x$ будет находиться выше графика $y = 1,3x$.

Ответ: Обе прямые проходят через начало координат и расположены в I и III четвертях. Прямая $y = 5,7x$ имеет больший угол наклона к оси Ох и расположена ближе к оси Оy, чем прямая $y = 1,3x$.