Страница 225 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Две прямые заданы уравнениями вида $y = kx + l$. Как узнать, параллельны они или пересекаются (фрагмент 3)? Приведите пример уравнений двух пересекающихся прямых и двух параллельных прямых.

Как узнать, параллельны они или пересекаются (фрагмент 3)?

Взаимное расположение двух прямых, заданных уравнениями вида $y = kx + l$, полностью определяется значениями их коэффициентов. Рассмотрим две прямые: $y_1 = k_1x + l_1$ и $y_2 = k_2x + l_2$.

Коэффициент $k$ называется угловым коэффициентом. Он определяет угол наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс (Ox). Чем больше $k$, тем "круче" идет прямая.

Коэффициент $l$ называется свободным членом. Он показывает, в какой точке прямая пересекает ось ординат (Oy). Эта точка имеет координаты $(0, l)$.

Существует три возможных случая взаимного расположения прямых на плоскости:

1. Прямые пересекаются. Это происходит, когда их угловые коэффициенты не равны: $k_1 \neq k_2$. Разные угловые коэффициенты означают, что прямые имеют разный наклон и поэтому обязательно пересекутся в одной единственной точке.
2. Прямые параллельны. Это происходит, когда их угловые коэффициенты равны, а свободные члены различны: $k_1 = k_2$ и $l_1 \neq l_2$. Одинаковый наклон ($k_1 = k_2$) при разных точках пересечения с осью Oy ($l_1 \neq l_2$) означает, что прямые никогда не пересекутся и не совпадут.
3. Прямые совпадают. Это происходит, когда и угловые коэффициенты, и свободные члены у них равны: $k_1 = k_2$ и $l_1 = l_2$. В этом случае оба уравнения фактически описывают одну и ту же прямую.

Ответ: Чтобы узнать, параллельны прямые или пересекаются, нужно сравнить их угловые коэффициенты $k$. Если коэффициенты $k$ различны ($k_1 \neq k_2$), то прямые пересекаются. Если коэффициенты $k$ равны, а свободные члены $l$ различны ($k_1 = k_2$, $l_1 \neq l_2$), то прямые параллельны.

Пример уравнений двух пересекающихся прямых

Для примера возьмем две прямые, у которых угловые коэффициенты $k$ будут разными. Например:

$y = 5x - 3$

$y = -2x + 4$

В данном случае угловой коэффициент первой прямой $k_1 = 5$, а второй — $k_2 = -2$. Так как $5 \neq -2$, то есть $k_1 \neq k_2$, эти прямые пересекаются.

Ответ: $y = 5x - 3$ и $y = -2x + 4$.

Пример уравнений двух параллельных прямых

Для примера возьмем две прямые, у которых угловые коэффициенты $k$ будут одинаковыми, а свободные члены $l$ — разными. Например:

$y = 0.5x + 1$

$y = 0.5x - 6$

Здесь угловые коэффициенты обеих прямых равны: $k_1 = k_2 = 0.5$. Свободные члены различны: $l_1 = 1$ и $l_2 = -6$. Так как условия $k_1 = k_2$ и $l_1 \neq l_2$ выполняются, эти прямые параллельны.

Ответ: $y = 0.5x + 1$ и $y = 0.5x - 6$.

В какой точке пересекает ось у прямая:

a) $y = x + 2$;

б) $y = 2x - 3$;

в) $y = -2x$?

Чтобы найти точку пересечения прямой с осью ординат (осью y), необходимо в уравнение прямой подставить значение $x=0$ и вычислить соответствующее значение $y$. Точка пересечения будет иметь координаты $(0, y)$.

а) Для прямой $y = x + 2$:
Подставим $x = 0$ в уравнение:
$y = 0 + 2$
$y = 2$
Таким образом, точка пересечения с осью y имеет координаты $(0, 2)$.
Ответ: $(0, 2)$

б) Для прямой $y = 2x - 3$:
Подставим $x = 0$ в уравнение:
$y = 2 \cdot 0 - 3$
$y = -3$
Таким образом, точка пересечения с осью y имеет координаты $(0, -3)$.
Ответ: $(0, -3)$

в) Для прямой $y = -2x$:
Подставим $x = 0$ в уравнение:
$y = -2 \cdot 0$
$y = 0$
Таким образом, точка пересечения с осью y имеет координаты $(0, 0)$. Это начало координат.
Ответ: $(0, 0)$

8.15 Запишите уравнение прямой в виде $y = kx + l$ и назовите коэффициенты $k$ и $l$:

а) $x + y = 5$;

б) $2x + y = -3$;

в) $3x - 2y = 6$;

г) $3y - 2x = 0$;

д) $2y + 4 = 0$;

е) $2x = 3y$.

а) Исходное уравнение: $x + y = 5$.
Чтобы привести его к виду $y = kx + l$, необходимо выразить переменную $y$. Для этого перенесем $x$ в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:
$y = 5 - x$
Теперь запишем слагаемые в правой части в стандартном порядке ($x$ на первом месте):
$y = -x + 5$
В полученном уравнении коэффициент при $x$ (угловой коэффициент) $k = -1$, а свободный член $l = 5$.
Ответ: $y = -x + 5$; $k = -1$, $l = 5$.

б) Исходное уравнение: $2x + y = -3$.
Выразим $y$, перенеся $2x$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$y = -2x - 3$
Уравнение уже представлено в виде $y = kx + l$.
Коэффициенты: угловой коэффициент $k = -2$, свободный член $l = -3$.
Ответ: $y = -2x - 3$; $k = -2$, $l = -3$.

в) Исходное уравнение: $3x - 2y = 6$.
Сначала перенесем $3x$ в правую часть:
$-2y = -3x + 6$
Теперь разделим обе части уравнения на коэффициент при $y$, то есть на $-2$:
$y = \frac{-3x + 6}{-2}$
$y = \frac{-3x}{-2} + \frac{6}{-2}$
$y = \frac{3}{2}x - 3$
Коэффициенты: угловой коэффициент $k = \frac{3}{2}$, свободный член $l = -3$.
Ответ: $y = \frac{3}{2}x - 3$; $k = \frac{3}{2}$, $l = -3$.

г) Исходное уравнение: $3y - 2x = 0$.
Перенесем $-2x$ в правую часть уравнения:
$3y = 2x$
Разделим обе части на $3$, чтобы выразить $y$:
$y = \frac{2}{3}x$
В данном случае свободный член $l$ равен нулю. Уравнение можно записать как $y = \frac{2}{3}x + 0$.
Коэффициенты: угловой коэффициент $k = \frac{2}{3}$, свободный член $l = 0$.
Ответ: $y = \frac{2}{3}x$; $k = \frac{2}{3}$, $l = 0$.

д) Исходное уравнение: $2y + 4 = 0$.
Перенесем $4$ в правую часть:
$2y = -4$
Разделим обе части на $2$:
$y = -2$
Это уравнение прямой, параллельной оси абсцисс. В этом случае член с $x$ отсутствует, что означает, что его коэффициент $k$ равен нулю. Уравнение можно записать как $y = 0 \cdot x - 2$.
Коэффициенты: угловой коэффициент $k = 0$, свободный член $l = -2$.
Ответ: $y = -2$; $k = 0$, $l = -2$.

е) Исходное уравнение: $2x = 3y$.
Для удобства поменяем части уравнения местами:
$3y = 2x$
Разделим обе части на $3$, чтобы выразить $y$:
$y = \frac{2}{3}x$
Как и в пункте г), свободный член $l$ равен нулю.
Коэффициенты: угловой коэффициент $k = \frac{2}{3}$, свободный член $l = 0$.
Ответ: $y = \frac{2}{3}x$; $k = \frac{2}{3}$, $l = 0$.

8.16 ДЕЙСТВУЕМ ПО АЛГОРИТМУ Определите, через какие коор-динатные углы проходит прямая, и постройте её:

а) $y = \frac{1}{2}x;$

б) $y = 3x;$

в) $y = -2x;$

г) $y = -0,5x;$

д) $y = \frac{x}{3};$

е) $y = -\frac{x}{4}.$

Все представленные уравнения являются линейными функциями вида $y = kx$. Графиком такой функции является прямая, проходящая через начало координат $(0, 0)$. Расположение прямой на координатной плоскости зависит от знака углового коэффициента $k$.

• Если $k > 0$, прямая проходит через I и III координатные углы (четверти).
• Если $k < 0$, прямая проходит через II и IV координатные углы (четверти).

Для построения прямой достаточно найти координаты двух точек, принадлежащих ей.

а) $y = \frac{1}{2}x$

В данном уравнении угловой коэффициент $k = \frac{1}{2}$.

Поскольку $k > 0$, прямая проходит через I и III координатные углы.

Для построения графика найдем две точки. Первая точка — это всегда начало координат $(0, 0)$ для функций вида $y=kx$. Для нахождения второй точки выберем произвольное значение $x$, например, $x = 2$. Тогда $y = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$. Вторая точка имеет координаты $(2, 1)$. Проводим прямую через точки $(0, 0)$ и $(2, 1)$.

Ответ: прямая проходит через I и III координатные углы. Для построения можно использовать точки $(0, 0)$ и $(2, 1)$.

б) $y = 3x$

В данном уравнении угловой коэффициент $k = 3$.

Поскольку $k > 0$, прямая проходит через I и III координатные углы.

Для построения графика найдем две точки. Первая точка — $(0, 0)$. Для нахождения второй точки выберем $x = 1$. Тогда $y = 3 \cdot 1 = 3$. Вторая точка имеет координаты $(1, 3)$. Проводим прямую через точки $(0, 0)$ и $(1, 3)$.

Ответ: прямая проходит через I и III координатные углы. Для построения можно использовать точки $(0, 0)$ и $(1, 3)$.

в) $y = -2x$

В данном уравнении угловой коэффициент $k = -2$.

Поскольку $k < 0$, прямая проходит через II и IV координатные углы.

Для построения графика найдем две точки. Первая точка — $(0, 0)$. Для нахождения второй точки выберем $x = 1$. Тогда $y = -2 \cdot 1 = -2$. Вторая точка имеет координаты $(1, -2)$. Проводим прямую через точки $(0, 0)$ и $(1, -2)$.

Ответ: прямая проходит через II и IV координатные углы. Для построения можно использовать точки $(0, 0)$ и $(1, -2)$.

г) $y = -0,5x$

В данном уравнении угловой коэффициент $k = -0,5$.

Поскольку $k < 0$, прямая проходит через II и IV координатные углы.

Для построения графика найдем две точки. Первая точка — $(0, 0)$. Для нахождения второй точки выберем $x = 2$. Тогда $y = -0,5 \cdot 2 = -1$. Вторая точка имеет координаты $(2, -1)$. Проводим прямую через точки $(0, 0)$ и $(2, -1)$.

Ответ: прямая проходит через II и IV координатные углы. Для построения можно использовать точки $(0, 0)$ и $(2, -1)$.

д) $y = \frac{x}{3}$

Это уравнение можно представить в виде $y = \frac{1}{3}x$. Угловой коэффициент $k = \frac{1}{3}$.

Поскольку $k > 0$, прямая проходит через I и III координатные углы.

Для построения графика найдем две точки. Первая точка — $(0, 0)$. Для нахождения второй точки выберем $x = 3$. Тогда $y = \frac{3}{3} = 1$. Вторая точка имеет координаты $(3, 1)$. Проводим прямую через точки $(0, 0)$ и $(3, 1)$.

Ответ: прямая проходит через I и III координатные углы. Для построения можно использовать точки $(0, 0)$ и $(3, 1)$.

е) $y = -\frac{x}{4}$

Это уравнение можно представить в виде $y = -\frac{1}{4}x$. Угловой коэффициент $k = -\frac{1}{4}$.

Поскольку $k < 0$, прямая проходит через II и IV координатные углы.

Для построения графика найдем две точки. Первая точка — $(0, 0)$. Для нахождения второй точки выберем $x = 4$. Тогда $y = -\frac{4}{4} = -1$. Вторая точка имеет координаты $(4, -1)$. Проводим прямую через точки $(0, 0)$ и $(4, -1)$.

Ответ: прямая проходит через II и IV координатные углы. Для построения можно использовать точки $(0, 0)$ и $(4, -1)$.

8.17 Покажите схематически в одной системе координат, как расположены графики уравнений:

1) $y = 10x;$

2) $y = -8x;$

3) $y = 0,3x;$

4) $y = -1,2x.$

Все представленные уравнения имеют вид $y = kx$, где $k$ — угловой коэффициент. Графиком каждого такого уравнения является прямая линия, проходящая через начало координат (точку с координатами $(0, 0)$). Расположение прямой на координатной плоскости зависит от знака и величины коэффициента $k$.

• Если $k > 0$, прямая расположена в I и III координатных четвертях (функция возрастает). Чем больше значение $k$, тем "круче" идет прямая, то есть тем ближе она располагается к оси OY.
• Если $k < 0$, прямая расположена во II и IV координатных четвертях (функция убывает). Чем больше абсолютное значение $k$ (то есть $|k|$), тем "круче" идет прямая.

Проанализируем каждое уравнение и его график.

В этом уравнении угловой коэффициент $k = 10$. Так как $k > 0$, график является прямой, проходящей через I и III координатные четверти. Поскольку значение коэффициента $k=10$ велико, прямая будет очень крутой, то есть будет образовывать малый угол с осью OY.

Ответ: Прямая, проходящая через начало координат, расположенная в I и III четвертях, с большим положительным наклоном (очень крутая).

Здесь угловой коэффициент $k = -8$. Так как $k < 0$, график — это прямая, проходящая через II и IV координатные четверти. Абсолютное значение коэффициента $|k| = |-8| = 8$ также является большим. Это означает, что прямая будет очень крутой (сильно прижата к оси OY), но при этом убывающей.

Ответ: Прямая, проходящая через начало координат, расположенная во II и IV четвертях, с большим по модулю отрицательным наклоном (очень крутая, убывающая).

Угловой коэффициент в данном случае $k = 0,3$. Так как $k > 0$, прямая расположена в I и III четвертях. Значение $k = 0,3$ является небольшим (меньше 1), поэтому график будет пологим, то есть будет располагаться ближе к оси OX, чем к оси OY. Сравнивая с графиком $y = 10x$, эта прямая будет гораздо менее крутой.

Ответ: Прямая, проходящая через начало координат, расположенная в I и III четвертях, с малым положительным наклоном (пологая).

Угловой коэффициент $k = -1,2$. Так как $k < 0$, прямая расположена во II и IV четвертях. Абсолютное значение коэффициента $|k| = |-1,2| = 1,2$. Это означает, что прямая является убывающей и более крутой, чем прямая $y=-x$ (у которой $|k|=1$), но значительно более пологой, чем прямая $y=-8x$ (у которой $|k|=8$).

Ответ: Прямая, проходящая через начало координат, расположенная во II и IV четвертях, с умеренным отрицательным наклоном.

Схематическое расположение всех графиков в одной системе координат:

Все четыре прямые пересекаются в одной точке — начале координат $(0,0)$.

• Прямые $y=10x$ и $y=0,3x$ находятся в I и III четвертях. Прямая $y=10x$ расположена гораздо "вертикальнее" (ближе к оси OY), чем прямая $y=0,3x$, которая является самой пологой из всех графиков (ближе всего к оси OX).
• Прямые $y=-8x$ и $y=-1,2x$ находятся во II и IV четвертях. Прямая $y=-8x$ расположена очень круто (близко к оси OY). Прямая $y=-1,2x$ также убывает, но она значительно более пологая, чем $y=-8x$.
• Если сравнивать крутизну всех прямых по модулю их углового коэффициента ($|k|$), то по убыванию она будет следующей: $y=10x$ ($|k|=10$), затем $y=-8x$ ($|k|=8$), затем $y=-1,2x$ ($|k|=1,2$) и, наконец, самая пологая — $y=0,3x$ ($|k|=0,3$).

Для каждой прямой назовите угловой коэффициент и ординату точки, в которой прямая пересекает ось $y$, и постройте эту прямую (8.18–8.19).

8.18 а) $y = x + 2;$

б) $y = 2x - 4;$

в) $y = \frac{2}{3}x + 2;$

г) $y = 0,5x - 3.$

а) Для прямой $y = x + 2$ уравнение представлено в виде $y = kx + b$. Отсюда, угловой коэффициент $k = 1$. Прямая пересекает ось $y$ в точке, ордината которой равна $b = 2$. Координаты этой точки $(0, 2)$. Для построения прямой найдем еще одну точку. Пусть $x = -2$, тогда $y = -2 + 2 = 0$. Вторая точка — $(-2, 0)$. Построим прямую, проведя ее через точки $(0, 2)$ и $(-2, 0)$.
Ответ: Угловой коэффициент $1$, ордината точки пересечения с осью $y$ равна $2$.

б) Для прямой $y = 2x - 4$ угловой коэффициент $k = 2$. Прямая пересекает ось $y$ в точке, ордината которой равна $b = -4$. Координаты этой точки $(0, -4)$. Для построения прямой найдем точку пересечения с осью $x$. Пусть $y = 0$, тогда $0 = 2x - 4$, откуда $2x = 4$ и $x = 2$. Вторая точка — $(2, 0)$. Построим прямую, проведя ее через точки $(0, -4)$ и $(2, 0)$.
Ответ: Угловой коэффициент $2$, ордината точки пересечения с осью $y$ равна $-4$.

в) Для прямой $y = \frac{2}{3}x + 2$ угловой коэффициент $k = \frac{2}{3}$. Прямая пересекает ось $y$ в точке, ордината которой равна $b = 2$. Координаты этой точки $(0, 2)$. Для построения прямой найдем еще одну точку. Чтобы избежать дробных координат, выберем $x$ кратное $3$, например $x = 3$. Тогда $y = \frac{2}{3} \cdot 3 + 2 = 2 + 2 = 4$. Вторая точка — $(3, 4)$. Построим прямую, проведя ее через точки $(0, 2)$ и $(3, 4)$.
Ответ: Угловой коэффициент $\frac{2}{3}$, ордината точки пересечения с осью $y$ равна $2$.

г) Для прямой $y = 0.5x - 3$ угловой коэффициент $k = 0.5$. Прямая пересекает ось $y$ в точке, ордината которой равна $b = -3$. Координаты этой точки $(0, -3)$. Для построения прямой найдем точку пересечения с осью $x$. Пусть $y = 0$, тогда $0 = 0.5x - 3$, откуда $0.5x = 3$ и $x = 6$. Вторая точка — $(6, 0)$. Построим прямую, проведя ее через точки $(0, -3)$ и $(6, 0)$.
Ответ: Угловой коэффициент $0.5$, ордината точки пересечения с осью $y$ равна $-3$.

8.19 а) $y = -x - 1$;

б) $y = -2x + 2$;

В) $y = -0,4x - 2$;

Г) $y = 6 - 3x$.

а) Чтобы найти нуль функции, то есть значение аргумента $x$, при котором значение функции $y$ равно нулю, необходимо решить уравнение, приравняв данную функцию к нулю.

Для функции $y = -x - 1$ получаем следующее уравнение:

$-x - 1 = 0$

Перенесем слагаемое $-1$ в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:

$-x = 1$

Далее, умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы выразить $x$:

$x = -1$

Ответ: $x = -1$.

б) Найдем значение аргумента $x$, при котором значение функции $y = -2x + 2$ равно нулю. Для этого составим и решим уравнение:

$-2x + 2 = 0$

Перенесем слагаемое $2$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$-2x = -2$

Разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на $-2$:

$x = \frac{-2}{-2}$

$x = 1$

Ответ: $x = 1$.

в) Чтобы найти нуль функции $y = -0.4x - 2$, необходимо решить уравнение:

$-0.4x - 2 = 0$

Перенесем свободный член $-2$ в правую часть уравнения, изменив его знак:

$-0.4x = 2$

Теперь разделим обе части уравнения на коэффициент $-0.4$:

$x = \frac{2}{-0.4}$

Для удобства вычислений, умножим числитель и знаменатель дроби на 10, чтобы избавиться от десятичной дроби в знаменателе:

$x = \frac{2 \cdot 10}{-0.4 \cdot 10} = \frac{20}{-4}$

$x = -5$

Ответ: $x = -5$.

г) Для функции $y = 6 - 3x$ найдем значение $x$, при котором $y=0$. Для этого решим соответствующее уравнение:

$6 - 3x = 0$

Перенесем слагаемое $6$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$-3x = -6$

Разделим обе части уравнения на $-3$, чтобы найти $x$:

$x = \frac{-6}{-3}$

$x = 2$

Ответ: $x = 2$.

8.20 Прямые заданы уравнениями:

$y = \frac{1}{2}x + 1$, $y = \frac{1}{2}x - 4$, $y = \frac{1}{2}x$.

1) Чему равен угловой коэффициент каждой прямой?

2) Каково взаимное расположение этих прямых на плоскости?

3) В какой точке каждая прямая пересекает ось $y$?

4) Постройте эти прямые.

1) Чему равен угловой коэффициент каждой прямой?

Уравнение прямой в общем виде с угловым коэффициентом выглядит так: $y = kx + b$, где $k$ – это угловой коэффициент (показывает наклон прямой), а $b$ – свободный член (показывает точку пересечения с осью $y$).

Рассмотрим каждое из заданных уравнений:

• Для прямой $y = \frac{1}{2}x + 1$: сравнивая с общей формой, видим, что угловой коэффициент $k = \frac{1}{2}$.

• Для прямой $y = \frac{1}{2}x - 4$: угловой коэффициент $k = \frac{1}{2}$.

• Для прямой $y = \frac{1}{2}x$: это уравнение можно записать как $y = \frac{1}{2}x + 0$, следовательно, угловой коэффициент $k = \frac{1}{2}$.

Таким образом, у всех трех прямых одинаковый угловой коэффициент.

Ответ: Угловой коэффициент каждой прямой равен $\frac{1}{2}$.

2) Каково взаимное расположение этих прямых на плоскости?

Взаимное расположение прямых на плоскости определяется их угловыми коэффициентами.

Если угловые коэффициенты двух прямых ($k_1$ и $k_2$) равны ($k_1 = k_2$), а их свободные члены ($b_1$ и $b_2$) различны ($b_1 \neq b_2$), то прямые параллельны.

В нашем случае, как мы выяснили в предыдущем пункте, все три прямые имеют одинаковый угловой коэффициент $k = \frac{1}{2}$.

При этом их свободные члены различны: $b_1 = 1$, $b_2 = -4$ и $b_3 = 0$.

Поскольку угловые коэффициенты равны, а свободные члены различны, все три прямые параллельны друг другу.

Ответ: Прямые параллельны друг другу.

3) В какой точке каждая прямая пересекает ось y?

Прямая пересекает ось $y$ в точке, где координата $x$ равна нулю. В уравнении вида $y = kx + b$ точка пересечения с осью $y$ имеет координаты $(0, b)$.

• Для прямой $y = \frac{1}{2}x + 1$: свободный член $b=1$. Точка пересечения с осью $y$ – $(0, 1)$.

• Для прямой $y = \frac{1}{2}x - 4$: свободный член $b=-4$. Точка пересечения с осью $y$ – $(0, -4)$.

• Для прямой $y = \frac{1}{2}x$: свободный член $b=0$. Точка пересечения с осью $y$ – $(0, 0)$, то есть начало координат.

Ответ: Прямая $y = \frac{1}{2}x + 1$ пересекает ось $y$ в точке $(0, 1)$; прямая $y = \frac{1}{2}x - 4$ пересекает ось $y$ в точке $(0, -4)$; прямая $y = \frac{1}{2}x$ пересекает ось $y$ в точке $(0, 0)$.

4) Постройте эти прямые.

Для построения прямой на координатной плоскости достаточно найти координаты двух точек, принадлежащих этой прямой. Одну точку для каждой прямой мы уже знаем – это точка пересечения с осью $y$. Найдем вторую точку для каждой прямой, выбрав удобное значение $x$, например, $x=4$.

1. Прямая $y = \frac{1}{2}x + 1$ (синяя линия)

• Точка 1 (пересечение с осью $y$): $(0, 1)$.

• Точка 2: при $x=4$, $y = \frac{1}{2} \cdot 4 + 1 = 2 + 1 = 3$. Координаты второй точки: $(4, 3)$.

2. Прямая $y = \frac{1}{2}x - 4$ (красная линия)

• Точка 1 (пересечение с осью $y$): $(0, -4)$.

• Точка 2: при $x=4$, $y = \frac{1}{2} \cdot 4 - 4 = 2 - 4 = -2$. Координаты второй точки: $(4, -2)$.

3. Прямая $y = \frac{1}{2}x$ (зеленая линия)

• Точка 1 (пересечение с осью $y$): $(0, 0)$.

• Точка 2: при $x=4$, $y = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$. Координаты второй точки: $(4, 2)$.

Ниже представлен график с построенными прямыми.

Ответ: График, на котором построены три параллельные прямые, представлен выше.