Номер 3, страница 225 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Две прямые заданы уравнениями вида $y = kx + l$. Как узнать, параллельны они или пересекаются (фрагмент 3)? Приведите пример уравнений двух пересекающихся прямых и двух параллельных прямых.

Как узнать, параллельны они или пересекаются (фрагмент 3)?

Взаимное расположение двух прямых, заданных уравнениями вида $y = kx + l$, полностью определяется значениями их коэффициентов. Рассмотрим две прямые: $y_1 = k_1x + l_1$ и $y_2 = k_2x + l_2$.

Коэффициент $k$ называется угловым коэффициентом. Он определяет угол наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс (Ox). Чем больше $k$, тем "круче" идет прямая.

Коэффициент $l$ называется свободным членом. Он показывает, в какой точке прямая пересекает ось ординат (Oy). Эта точка имеет координаты $(0, l)$.

Существует три возможных случая взаимного расположения прямых на плоскости:

1. Прямые пересекаются. Это происходит, когда их угловые коэффициенты не равны: $k_1 \neq k_2$. Разные угловые коэффициенты означают, что прямые имеют разный наклон и поэтому обязательно пересекутся в одной единственной точке.
2. Прямые параллельны. Это происходит, когда их угловые коэффициенты равны, а свободные члены различны: $k_1 = k_2$ и $l_1 \neq l_2$. Одинаковый наклон ($k_1 = k_2$) при разных точках пересечения с осью Oy ($l_1 \neq l_2$) означает, что прямые никогда не пересекутся и не совпадут.
3. Прямые совпадают. Это происходит, когда и угловые коэффициенты, и свободные члены у них равны: $k_1 = k_2$ и $l_1 = l_2$. В этом случае оба уравнения фактически описывают одну и ту же прямую.

Ответ: Чтобы узнать, параллельны прямые или пересекаются, нужно сравнить их угловые коэффициенты $k$. Если коэффициенты $k$ различны ($k_1 \neq k_2$), то прямые пересекаются. Если коэффициенты $k$ равны, а свободные члены $l$ различны ($k_1 = k_2$, $l_1 \neq l_2$), то прямые параллельны.

Пример уравнений двух пересекающихся прямых

Для примера возьмем две прямые, у которых угловые коэффициенты $k$ будут разными. Например:

$y = 5x - 3$

$y = -2x + 4$

В данном случае угловой коэффициент первой прямой $k_1 = 5$, а второй — $k_2 = -2$. Так как $5 \neq -2$, то есть $k_1 \neq k_2$, эти прямые пересекаются.

Ответ: $y = 5x - 3$ и $y = -2x + 4$.

Пример уравнений двух параллельных прямых

Для примера возьмем две прямые, у которых угловые коэффициенты $k$ будут одинаковыми, а свободные члены $l$ — разными. Например:

$y = 0.5x + 1$

$y = 0.5x - 6$

Здесь угловые коэффициенты обеих прямых равны: $k_1 = k_2 = 0.5$. Свободные члены различны: $l_1 = 1$ и $l_2 = -6$. Так как условия $k_1 = k_2$ и $l_1 \neq l_2$ выполняются, эти прямые параллельны.

Ответ: $y = 0.5x + 1$ и $y = 0.5x - 6$.