Номер 8.13, страница 221 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 8.1. Линейное уравнение с двумя переменными и его график. Глава 8. Системы уравнений - номер 8.13, страница 221.

Условие.

8.13 Прямые $5x + 2y = 10$, $x = -2$, $y = -5$, попарно пересекаясь, образуют треугольник. Вычислите его площадь.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для того чтобы вычислить площадь треугольника, образованного пересечением трех прямых, необходимо сначала найти координаты его вершин. Вершины треугольника являются точками попарного пересечения данных прямых.

Даны три прямые с уравнениями: $5x + 2y = 10$, $x = -2$ и $y = -5$.

1. Нахождение координат вершин треугольника

Вершина A (пересечение прямых $5x + 2y = 10$ и $x = -2$)

Подставим значение $x = -2$ в первое уравнение:

$5(-2) + 2y = 10$

$-10 + 2y = 10$

$2y = 10 + 10$

$2y = 20$

$y = 10$

Координаты вершины A: $(-2, 10)$.

Вершина B (пересечение прямых $5x + 2y = 10$ и $y = -5$)

Подставим значение $y = -5$ в первое уравнение:

$5x + 2(-5) = 10$

$5x - 10 = 10$

$5x = 10 + 10$

$5x = 20$

$x = 4$

Координаты вершины B: $(4, -5)$.

Вершина C (пересечение прямых $x = -2$ и $y = -5$)

Координаты этой вершины определяются непосредственно из уравнений: $x = -2$ и $y = -5$.

Координаты вершины C: $(-2, -5)$.

2. Вычисление площади треугольника

Мы получили вершины треугольника: A$(-2, 10)$, B$(4, -5)$ и C$(-2, -5)$.

Заметим, что прямая $x = -2$ является вертикальной, а прямая $y = -5$ — горизонтальной. Следовательно, они перпендикулярны, и треугольник ABC является прямоугольным с прямым углом при вершине C$(-2, -5)$.

Площадь прямоугольного треугольника можно найти как половину произведения длин его катетов. Катетами являются стороны AC и BC.

Найдем длину катета AC. Так как x-координаты точек A и C совпадают, длина этого отрезка равна модулю разности их y-координат:

$|AC| = |10 - (-5)| = |10 + 5| = 15$

Найдем длину катета BC. Так как y-координаты точек B и C совпадают, длина этого отрезка равна модулю разности их x-координат:

$|BC| = |4 - (-2)| = |4 + 2| = 6$

Теперь вычислим площадь треугольника по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$, где $a$ и $b$ — длины катетов:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot |AC| \cdot |BC| = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 6 = \frac{90}{2} = 45$

Ответ: 45.