Номер 8.12, страница 221 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

8.12 Решите задачу, составив по её условию уравнение с двумя переменными.

Тест по геометрии содержал задачи, оценённые 3 баллами и 4 баллами. Среди задач, решённых Олегом, были задачи как одного, так и другого уровня. Всего он набрал 27 баллов. Могло ли быть так, что Олег решил: 1) пять задач, оценённых 3 баллами; 2) две задачи, оценённые 4 баллами?

Подсказка. Обратите внимание: решением могут быть только пары натуральных чисел.

Пусть $x$ — количество задач, оценённых в 3 балла, которые решил Олег, а $y$ — количество задач, оценённых в 4 балла. Согласно условию, Олег решил задачи как одного, так и другого уровня, поэтому $x$ и $y$ должны быть натуральными числами (то есть целыми и положительными). Общее количество набранных баллов равно 27. Составим уравнение с двумя переменными, которое описывает эту ситуацию:
$3x + 4y = 27$

1) пять задач, оценённых 3 баллами
Проверим, мог ли Олег решить пять задач по 3 балла. В этом случае $x = 5$. Подставим это значение в наше уравнение:
$3 \cdot 5 + 4y = 27$
$15 + 4y = 27$
Вычтем 15 из обеих частей уравнения:
$4y = 27 - 15$
$4y = 12$
Разделим обе части на 4:
$y = 3$
Мы получили, что $y = 3$, что является натуральным числом. Это означает, что Олег мог решить 5 задач по 3 балла и 3 задачи по 4 балла.
Ответ: да, могло.

2) две задачи, оценённые 4 баллами
Теперь проверим, мог ли Олег решить две задачи по 4 балла. В этом случае $y = 2$. Подставим это значение в уравнение:
$3x + 4 \cdot 2 = 27$
$3x + 8 = 27$
Вычтем 8 из обеих частей уравнения:
$3x = 27 - 8$
$3x = 19$
Разделим обе части на 3:
$x = \frac{19}{3}$
Число $\frac{19}{3}$ (или $6\frac{1}{3}$) не является натуральным числом, а количество решённых задач не может быть дробным. Следовательно, такая ситуация невозможна.
Ответ: нет, не могло.