Страница 221 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

8.9 1) Выпишите уравнения, которые задают ту же прямую, что и уравнение $2x + 3y = 5$:

$4x + 6y = 10$, $2x + 3y = 12$, $0,2x + 0,3y = 0,5$,

$4x + 6y = 5$, $-6x - 9y = -15$, $2x - 3y = 5$.

2) Составьте несколько уравнений, которые задают ту же самую прямую, что и уравнение $2x - y = 10$.

1)

Два линейных уравнения задают одну и ту же прямую, если одно уравнение можно получить из другого умножением всех его членов на одно и то же ненулевое число. Исходное уравнение: $2x + 3y = 5$.
Проверим каждое из предложенных уравнений, сравнивая отношения их коэффициентов и свободных членов с исходным уравнением.

- Уравнение $4x + 6y = 10$.
Проверим отношения: $4/2 = 2$; $6/3 = 2$; $10/5 = 2$.
Все отношения равны 2. Следовательно, это уравнение задает ту же прямую.

- Уравнение $2x + 3y = 12$.
Отношения коэффициентов при переменных $2/2 = 1$ и $3/3 = 1$, но отношение свободных членов $12/5 \ne 1$. Это другая прямая (параллельная исходной).

- Уравнение $0,2x + 0,3y = 0,5$.
Проверим отношения: $0,2/2 = 0,1$; $0,3/3 = 0,1$; $0,5/5 = 0,1$.
Все отношения равны 0,1. Следовательно, это уравнение задает ту же прямую.

- Уравнение $4x + 6y = 5$.
Отношения коэффициентов при переменных $4/2 = 2$ и $6/3 = 2$, но отношение свободных членов $5/5 = 1$. Это другая прямая.

- Уравнение $-6x - 9y = -15$.
Проверим отношения: $-6/2 = -3$; $-9/3 = -3$; $-15/5 = -3$.
Все отношения равны -3. Следовательно, это уравнение задает ту же прямую.

- Уравнение $2x - 3y = 5$.
Отношение коэффициентов при $x$ равно $2/2 = 1$, а при $y$ равно $-3/3 = -1$. Отношения не равны, следовательно, это другая прямая.

Ответ: $4x + 6y = 10$; $0,2x + 0,3y = 0,5$; $-6x - 9y = -15$.

2)

Чтобы составить уравнения, задающие ту же самую прямую, что и уравнение $2x - y = 10$, нужно умножить обе части этого уравнения на любое ненулевое число $k$.

Приведем несколько примеров, выбрав разные значения для $k$:

- Пусть $k = 2$. Умножим исходное уравнение на 2:
$2 \cdot (2x - y) = 2 \cdot 10$, что дает $4x - 2y = 20$.

- Пусть $k = -1$. Умножим исходное уравнение на -1:
$-1 \cdot (2x - y) = -1 \cdot 10$, что дает $-2x + y = -10$.

- Пусть $k = 0.5$. Умножим исходное уравнение на 0.5:
$0.5 \cdot (2x - y) = 0.5 \cdot 10$, что дает $x - 0.5y = 5$.

Ответ: Например, $4x - 2y = 20$; $-2x + y = -10$; $x - 0.5y = 5$.

8.10 Постройте прямую $7x + 3y - 21 = 0$. Проходит ли она через точку:

а) $(11; -19);$

б) $(-9; 28)?$

Для построения прямой, заданной уравнением $7x + 3y - 21 = 0$, найдем координаты двух точек, через которые она проходит. Удобно найти точки пересечения прямой с осями координат.

1. Находим точку пересечения с осью абсцисс (Ox).
В этой точке координата $y=0$. Подставим это значение в уравнение:
$7x + 3 \cdot 0 - 21 = 0$
$7x - 21 = 0$
$7x = 21$
$x = 3$
Таким образом, первая точка имеет координаты (3; 0).

2. Находим точку пересечения с осью ординат (Oy).
В этой точке координата $x=0$. Подставим это значение в уравнение:
$7 \cdot 0 + 3y - 21 = 0$
$3y - 21 = 0$
$3y = 21$
$y = 7$
Таким образом, вторая точка имеет координаты (0; 7).

Для построения прямой необходимо отметить на координатной плоскости точки (3; 0) и (0; 7) и провести через них прямую линию.

Теперь проверим, проходит ли эта прямая через указанные точки. Точка принадлежит прямой, если её координаты удовлетворяют уравнению прямой (т.е. при подстановке координат в уравнение получается верное равенство).

а) Проверим точку (11; -19).
Подставим $x = 11$ и $y = -19$ в уравнение прямой:
$7 \cdot 11 + 3 \cdot (-19) - 21 = 77 - 57 - 21 = 20 - 21 = -1$
Поскольку $-1 \neq 0$, равенство неверно. Следовательно, прямая не проходит через точку (11; -19).
Ответ: нет, не проходит.

б) Проверим точку (-9; 28).
Подставим $x = -9$ и $y = 28$ в уравнение прямой:
$7 \cdot (-9) + 3 \cdot 28 - 21 = -63 + 84 - 21 = 21 - 21 = 0$
Поскольку $0 = 0$, равенство верно. Следовательно, прямая проходит через точку (-9; 28).
Ответ: да, проходит.

8.11 Какая из прямых проходит через точки M(-3; -4) и N(6; 2)?

1) $2x - 3y = 18$

2) $2x + 3y = -18$

3) $2x - 3y = 6$

4) $3x - 2y = -6$

Чтобы определить, какая из предложенных прямых проходит через точки $M(-3; -4)$ и $N(6; 2)$, необходимо последовательно подставить координаты этих точек в каждое из уравнений. Если координаты обеих точек удовлетворяют уравнению (превращают его в верное равенство), то эта прямая является искомой.

1) $2x - 3y = 18$

Проверка для точки $M(-3; -4)$: $2 \cdot (-3) - 3 \cdot (-4) = -6 + 12 = 6$.
Поскольку $6 \neq 18$, точка $M$ не лежит на этой прямой. Вариант неверный.

2) $2x + 3y = -18$

Проверка для точки $M(-3; -4)$: $2 \cdot (-3) + 3 \cdot (-4) = -6 - 12 = -18$. Равенство верное.
Проверка для точки $N(6; 2)$: $2 \cdot 6 + 3 \cdot 2 = 12 + 6 = 18$.
Поскольку $18 \neq -18$, точка $N$ не лежит на этой прямой. Вариант неверный.

3) $2x - 3y = 6$

Проверка для точки $M(-3; -4)$: $2 \cdot (-3) - 3 \cdot (-4) = -6 + 12 = 6$. Равенство верное.
Проверка для точки $N(6; 2)$: $2 \cdot 6 - 3 \cdot 2 = 12 - 6 = 6$. Равенство верное.
Так как координаты обеих точек удовлетворяют уравнению, этот вариант является правильным.

4) $3x - 2y = -6$

Проверка для точки $M(-3; -4)$: $3 \cdot (-3) - 2 \cdot (-4) = -9 + 8 = -1$.
Поскольку $-1 \neq -6$, точка $M$ не лежит на этой прямой. Вариант неверный.

Ответ: 3

8.12 Решите задачу, составив по её условию уравнение с двумя переменными.

Тест по геометрии содержал задачи, оценённые 3 баллами и 4 баллами. Среди задач, решённых Олегом, были задачи как одного, так и другого уровня. Всего он набрал 27 баллов. Могло ли быть так, что Олег решил: 1) пять задач, оценённых 3 баллами; 2) две задачи, оценённые 4 баллами?

Подсказка. Обратите внимание: решением могут быть только пары натуральных чисел.

Пусть $x$ — количество задач, оценённых в 3 балла, которые решил Олег, а $y$ — количество задач, оценённых в 4 балла. Согласно условию, Олег решил задачи как одного, так и другого уровня, поэтому $x$ и $y$ должны быть натуральными числами (то есть целыми и положительными). Общее количество набранных баллов равно 27. Составим уравнение с двумя переменными, которое описывает эту ситуацию:
$3x + 4y = 27$

1) пять задач, оценённых 3 баллами
Проверим, мог ли Олег решить пять задач по 3 балла. В этом случае $x = 5$. Подставим это значение в наше уравнение:
$3 \cdot 5 + 4y = 27$
$15 + 4y = 27$
Вычтем 15 из обеих частей уравнения:
$4y = 27 - 15$
$4y = 12$
Разделим обе части на 4:
$y = 3$
Мы получили, что $y = 3$, что является натуральным числом. Это означает, что Олег мог решить 5 задач по 3 балла и 3 задачи по 4 балла.
Ответ: да, могло.

2) две задачи, оценённые 4 баллами
Теперь проверим, мог ли Олег решить две задачи по 4 балла. В этом случае $y = 2$. Подставим это значение в уравнение:
$3x + 4 \cdot 2 = 27$
$3x + 8 = 27$
Вычтем 8 из обеих частей уравнения:
$3x = 27 - 8$
$3x = 19$
Разделим обе части на 3:
$x = \frac{19}{3}$
Число $\frac{19}{3}$ (или $6\frac{1}{3}$) не является натуральным числом, а количество решённых задач не может быть дробным. Следовательно, такая ситуация невозможна.
Ответ: нет, не могло.

8.13 Прямые $5x + 2y = 10$, $x = -2$, $y = -5$, попарно пересекаясь, образуют треугольник. Вычислите его площадь.

Для того чтобы вычислить площадь треугольника, образованного пересечением трех прямых, необходимо сначала найти координаты его вершин. Вершины треугольника являются точками попарного пересечения данных прямых.

Даны три прямые с уравнениями: $5x + 2y = 10$, $x = -2$ и $y = -5$.

1. Нахождение координат вершин треугольника

Вершина A (пересечение прямых $5x + 2y = 10$ и $x = -2$)

Подставим значение $x = -2$ в первое уравнение:

$5(-2) + 2y = 10$

$-10 + 2y = 10$

$2y = 10 + 10$

$2y = 20$

$y = 10$

Координаты вершины A: $(-2, 10)$.

Вершина B (пересечение прямых $5x + 2y = 10$ и $y = -5$)

Подставим значение $y = -5$ в первое уравнение:

$5x + 2(-5) = 10$

$5x - 10 = 10$

$5x = 10 + 10$

$5x = 20$

$x = 4$

Координаты вершины B: $(4, -5)$.

Вершина C (пересечение прямых $x = -2$ и $y = -5$)

Координаты этой вершины определяются непосредственно из уравнений: $x = -2$ и $y = -5$.

Координаты вершины C: $(-2, -5)$.

2. Вычисление площади треугольника

Мы получили вершины треугольника: A$(-2, 10)$, B$(4, -5)$ и C$(-2, -5)$.

Заметим, что прямая $x = -2$ является вертикальной, а прямая $y = -5$ — горизонтальной. Следовательно, они перпендикулярны, и треугольник ABC является прямоугольным с прямым углом при вершине C$(-2, -5)$.

Площадь прямоугольного треугольника можно найти как половину произведения длин его катетов. Катетами являются стороны AC и BC.

Найдем длину катета AC. Так как x-координаты точек A и C совпадают, длина этого отрезка равна модулю разности их y-координат:

$|AC| = |10 - (-5)| = |10 + 5| = 15$

Найдем длину катета BC. Так как y-координаты точек B и C совпадают, длина этого отрезка равна модулю разности их x-координат:

$|BC| = |4 - (-2)| = |4 + 2| = 6$

Теперь вычислим площадь треугольника по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$, где $a$ и $b$ — длины катетов:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot |AC| \cdot |BC| = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 6 = \frac{90}{2} = 45$

Ответ: 45.

8.14 a) Известно, что прямая $ax + 3y = 5$ проходит через точку $(10; -5)$. Найдите коэффициент $a$ и постройте эту прямую.

б) Известно, что прямая $5x + by = 2$ проходит через точку $(-2; 4)$. Найдите коэффициент $b$ и постройте эту прямую.

а)

Дано уравнение прямой $ax + 3y = 5$. Известно, что эта прямая проходит через точку с координатами $(10; -5)$.

Чтобы найти коэффициент $a$, необходимо подставить значения $x=10$ и $y=-5$ в уравнение прямой, так как точка принадлежит прямой, ее координаты должны удовлетворять уравнению.

Подставляем:

$a \cdot 10 + 3 \cdot (-5) = 5$

$10a - 15 = 5$

Теперь решим полученное уравнение относительно $a$:

$10a = 5 + 15$

$10a = 20$

$a = \frac{20}{10}$

$a = 2$

Таким образом, уравнение прямой имеет вид: $2x + 3y = 5$.

Для построения прямой необходимо найти координаты как минимум двух точек. Одна точка нам уже дана: $(10; -5)$. Найдем вторую точку. Для этого можно взять любое значение $x$ и вычислить соответствующее значение $y$. Возьмем, например, $x=1$ и подставим в уравнение:

$2 \cdot 1 + 3y = 5$

$2 + 3y = 5$

$3y = 5 - 2$

$3y = 3$

$y = 1$

Получили вторую точку с координатами $(1; 1)$.

Для построения графика нужно начертить систему координат, отметить точки $(10; -5)$ и $(1; 1)$ и провести через них прямую линию.

Ответ: $a = 2$. Прямая задается уравнением $2x + 3y = 5$ и для ее построения можно использовать точки $(10; -5)$ и $(1; 1)$.

б)

Дано уравнение прямой $5x + by = 2$. Известно, что эта прямая проходит через точку с координатами $(-2; 4)$.

Чтобы найти коэффициент $b$, подставим значения $x=-2$ и $y=4$ в уравнение прямой.

Подставляем:

$5 \cdot (-2) + b \cdot 4 = 2$

$-10 + 4b = 2$

Теперь решим полученное уравнение относительно $b$:

$4b = 2 + 10$

$4b = 12$

$b = \frac{12}{4}$

$b = 3$

Таким образом, уравнение прямой имеет вид: $5x + 3y = 2$.

Для построения прямой нам нужна вторая точка, так как одна уже известна: $(-2; 4)$. Найдем вторую точку. Возьмем, например, $x=1$ и подставим в уравнение:

$5 \cdot 1 + 3y = 2$

$5 + 3y = 2$

$3y = 2 - 5$

$3y = -3$

$y = -1$

Получили вторую точку с координатами $(1; -1)$.

Для построения графика нужно начертить систему координат, отметить точки $(-2; 4)$ и $(1; -1)$ и провести через них прямую линию.

Ответ: $b = 3$. Прямая задается уравнением $5x + 3y = 2$ и для ее построения можно использовать точки $(-2; 4)$ и $(1; -1)$.