Страница 214 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

12 Какой двучлен можно разложить на множители, используя формулу суммы кубов?

1) $9x^3 + 27a^3$

2) $9x^3 - 27a^3$

3) $8x^3 + 27a^3$

4) $8x^3 - 27a^3$

Для того чтобы разложить двучлен на множители по формуле суммы кубов, он должен представлять собой сумму двух выражений, каждое из которых является полным кубом. Формула суммы кубов выглядит так: $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$. Проанализируем каждый из предложенных вариантов.

1) $9x^3 + 27a^3$

В этом выражении второе слагаемое, $27a^3$, является кубом выражения $3a$, так как $(3a)^3 = 27a^3$. Однако первое слагаемое, $9x^3$, не является полным кубом, поскольку коэффициент 9 не является кубом целого числа ($2^3 = 8$, а $3^3 = 27$). Следовательно, этот двучлен нельзя разложить по формуле суммы кубов.

2) $9x^3 - 27a^3$

Это выражение является разностью, а не суммой, поэтому к нему неприменима формула суммы кубов. К тому же, как и в предыдущем пункте, член $9x^3$ не является полным кубом.

3) $8x^3 + 27a^3$

Этот двучлен является суммой. Проверим, являются ли слагаемые полными кубами. Первое слагаемое: $8x^3 = 2^3 \cdot x^3 = (2x)^3$. Второе слагаемое: $27a^3 = 3^3 \cdot a^3 = (3a)^3$. Оба слагаемых являются полными кубами. Значит, выражение можно представить в виде суммы кубов $(2x)^3 + (3a)^3$ и разложить на множители по соответствующей формуле. Этот вариант подходит.

4) $8x^3 - 27a^3$

Это выражение является разностью, а не суммой. Для его разложения можно использовать формулу разности кубов, но не сумму кубов, как требуется в условии задачи.

Таким образом, единственный двучлен из предложенных, который можно разложить на множители, используя формулу суммы кубов, — это $8x^3 + 27a^3$.

Ответ: 3

13 Закончите разложение на множители: $64m^3 - 1 = (4m - 1)(...)$.

1) $m^2 + m + 1$

2) $16m^2 + 8m + 1$

3) $16m^2 + 4m + 1$

4) $16m^2 - 4m + 1$

Для того чтобы закончить разложение на множители выражения $64m^3 - 1$, необходимо воспользоваться формулой сокращенного умножения, а именно формулой разности кубов.

Формула разности кубов имеет следующий вид: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

В заданном выражении $64m^3 - 1$ определим, чему равны $a$ и $b$. Для этого представим каждый член выражения в виде куба:

Первый член: $64m^3$. Так как $64 = 4^3$, то $64m^3 = (4m)^3$. Отсюда следует, что $a = 4m$.

Второй член: $1$. Так как $1 = 1^3$, то $b = 1$.

Теперь подставим найденные значения $a = 4m$ и $b = 1$ в формулу разности кубов:

$64m^3 - 1 = (4m)^3 - 1^3 = (4m - 1)((4m)^2 + (4m) \cdot 1 + 1^2)$.

Первый множитель $(4m - 1)$ уже дан в условии. Нам нужно найти второй множитель, вычислив выражение в скобках:

$(4m)^2 + (4m) \cdot 1 + 1^2 = 16m^2 + 4m + 1$.

Таким образом, полное разложение на множители выглядит так:

$64m^3 - 1 = (4m - 1)(16m^2 + 4m + 1)$.

Сравнивая полученный второй множитель с предложенными вариантами, мы видим, что он соответствует варианту под номером 3.

Ответ: 3) $16m^2 + 4m + 1$

14 Разложите на множители $y^4 - 81$.

Чтобы разложить на множители выражение $y^4 - 81$, мы применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ дважды.

1. Представим исходное выражение как разность двух квадратов. Заметим, что $y^4$ можно записать как $(y^2)^2$, а 81 — это $9^2$.
$y^4 - 81 = (y^2)^2 - 9^2$

2. Применим формулу разности квадратов, где $a = y^2$ и $b = 9$:
$(y^2)^2 - 9^2 = (y^2 - 9)(y^2 + 9)$

3. Теперь посмотрим на полученные множители. Множитель $(y^2 - 9)$ снова является разностью квадратов, так как $y^2$ — это квадрат $y$, а 9 — это квадрат 3.
$y^2 - 9 = y^2 - 3^2$

4. Снова применяем формулу разности квадратов к выражению $(y^2 - 9)$, где $a = y$ и $b = 3$:
$y^2 - 3^2 = (y - 3)(y + 3)$

Множитель $(y^2 + 9)$ является суммой квадратов и не раскладывается на множители с действительными коэффициентами.

5. Собираем все вместе, подставляя разложенный множитель в выражение из шага 2:
$y^4 - 81 = (y - 3)(y + 3)(y^2 + 9)$

Ответ: $(y - 3)(y + 3)(y^2 + 9)$

15 Какой из способов не применяется при разложении на множители многочлена $2a^2 - 2ab - 6a^2 + 6b^2$?

1) вынесение за скобки общего множителя

2) группировка

3) формула разности квадратов

4) формула квадрата разности

Для того чтобы определить, какой из способов не применяется при разложении многочлена на множители, необходимо выполнить само разложение и проанализировать каждый шаг. Заданный многочлен: $2a^2 - 2ab - 6a^2 + 6b^2$.

Сначала упростим многочлен, приведя подобные слагаемые: $2a^2 - 2ab - 6a^2 + 6b^2 = (2a^2 - 6a^2) - 2ab + 6b^2 = -4a^2 - 2ab + 6b^2$.

Теперь проанализируем, какие из предложенных способов можно применить для разложения многочлена $-4a^2 - 2ab + 6b^2$ на множители.

1) вынесение за скобки общего множителя

Этот способ применяется. Все члены многочлена имеют общий числовой множитель. Можно вынести за скобки $-2$:

$-4a^2 - 2ab + 6b^2 = -2(2a^2 + ab - 3b^2)$

Таким образом, этот метод используется.

2) группировка

Этот способ применяется для разложения на множители трехчлена $2a^2 + ab - 3b^2$. Представим средний член $ab$ в виде разности $3ab - 2ab$ и выполним группировку:

$2a^2 + ab - 3b^2 = 2a^2 + 3ab - 2ab - 3b^2 = (2a^2 + 3ab) - (2ab + 3b^2) = a(2a+3b) - b(2a+3b) = (a-b)(2a+3b)$

Таким образом, метод группировки тоже используется.

3) формула разности квадратов

Этот способ также может быть применен, если выбрать другой порядок действий и не приводить подобные слагаемые в самом начале. Сгруппируем члены исходного многочлена так:

$(2a^2 - 2ab) + (-6a^2 + 6b^2) = 2a(a-b) - 6(a^2 - b^2)$

В этом выражении для множителя $(a^2 - b^2)$ необходимо применить формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Следовательно, этот метод тоже применим.

4) формула квадрата разности

Этот способ не применяется. Формула квадрата разности имеет вид $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. Ни исходный многочлен, ни многочлены, получаемые в процессе разложения, не являются полным квадратом разности. Например, в трехчлене $2a^2 + ab - 3b^2$ ни первый, ни последний член не являются точными квадратами, что делает применение этой формулы невозможным.

Ответ: 4

16 Какое из утверждений неверно?

1) если произведение двух чисел равно нулю, то хотя бы одно из этих чисел равно нулю

2) если хотя бы одно из двух чисел равно нулю, то их произведение равно нулю

3) если хотя бы одно из двух чисел не равно нулю, то произведение этих чисел не равно нулю

4) если произведение двух чисел не равно нулю, то ни одно из этих чисел не равно нулю

1) если произведение двух чисел равно нулю, то хотя бы одно из этих чисел равно нулю

Это утверждение является фундаментальным свойством умножения. Пусть даны два числа, $a$ и $b$. Утверждение гласит, что если их произведение $a \cdot b = 0$, то из этого следует, что либо $a = 0$, либо $b = 0$, или оба равны нулю. Это верно, так как произведение двух ненулевых чисел никогда не равно нулю.
Ответ: утверждение верно.

2) если хотя бы одно из двух чисел равно нулю, то их произведение равно нулю

Это утверждение описывает свойство умножения на ноль. Если мы возьмем любое число $a$ и умножим его на ноль, результат всегда будет ноль: $a \cdot 0 = 0$. Аналогично, $0 \cdot b = 0$. Таким образом, если хотя бы один из множителей равен нулю, все произведение равно нулю.
Ответ: утверждение верно.

3) если хотя бы одно из двух чисел не равно нулю, то произведение этих чисел не равно нулю

Проверим это утверждение на контрпримере. Возьмем два числа: $a = 7$ и $b = 0$. Условие «хотя бы одно из двух чисел не равно нулю» выполняется, так как $7 \neq 0$. Теперь найдем их произведение: $a \cdot b = 7 \cdot 0 = 0$. Утверждение гласит, что произведение должно быть не равно нулю, но мы получили ноль. Следовательно, данное утверждение ложно.
Ответ: утверждение неверно.

4) если произведение двух чисел не равно нулю, то ни одно из этих чисел не равно нулю

Это утверждение истинно. Если произведение $a \cdot b \neq 0$, то это исключает возможность того, что один из множителей равен нулю. Ведь если бы, например, $a = 0$, то их произведение было бы равно нулю ($0 \cdot b = 0$), что противоречило бы условию. Следовательно, и $a$, и $b$ должны быть не равны нулю.
Ответ: утверждение верно.

17 Решите уравнение $(x-2)(2x+6)=0$.

1) $x=2$

2) $x=-3$

3) $x=2, x=-3$

4) $x=-2, x=3$

Дано уравнение $(x - 2)(2x + 6) = 0$.

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, чтобы найти все корни уравнения, необходимо приравнять каждый множитель к нулю и решить полученные уравнения.

Приравняем первую скобку к нулю:

$x - 2 = 0$

Перенесем $-2$ в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$x = 2$

Первый корень уравнения равен $2$.

Приравняем вторую скобку к нулю:

$2x + 6 = 0$

Перенесем $6$ в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$2x = -6$

Разделим обе части уравнения на $2$, чтобы найти $x$:

$x = \frac{-6}{2}$

$x = -3$

Второй корень уравнения равен $-3$.

Таким образом, данное уравнение имеет два корня: $2$ и $-3$. Это соответствует варианту ответа под номером 3.

Ответ: $x = 2, x = -3$

18 Найдите корни уравнения $x^3 - 9x = 0$.

Для решения уравнения $x^3 - 9x = 0$ необходимо разложить его левую часть на множители. Первым шагом вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 - 9) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю. Таким образом, мы получаем два отдельных уравнения:

1) $x = 0$

2) $x^2 - 9 = 0$

Первое уравнение дает нам первый корень: $x_1 = 0$.

Теперь решим второе уравнение $x^2 - 9 = 0$. Это неполное квадратное уравнение. Можно представить 9 как $3^2$ и использовать формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$x^2 - 3^2 = 0$

$(x-3)(x+3) = 0$

Это уравнение снова распадается на два:

$x - 3 = 0$, откуда $x_2 = 3$.

$x + 3 = 0$, откуда $x_3 = -3$.

В результате мы нашли все три корня исходного кубического уравнения.

Ответ: $-3; 0; 3$.