Номер 12, страница 214 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

12 Какой двучлен можно разложить на множители, используя формулу суммы кубов?

1) $9x^3 + 27a^3$

2) $9x^3 - 27a^3$

3) $8x^3 + 27a^3$

4) $8x^3 - 27a^3$

Для того чтобы разложить двучлен на множители по формуле суммы кубов, он должен представлять собой сумму двух выражений, каждое из которых является полным кубом. Формула суммы кубов выглядит так: $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$. Проанализируем каждый из предложенных вариантов.

1) $9x^3 + 27a^3$

В этом выражении второе слагаемое, $27a^3$, является кубом выражения $3a$, так как $(3a)^3 = 27a^3$. Однако первое слагаемое, $9x^3$, не является полным кубом, поскольку коэффициент 9 не является кубом целого числа ($2^3 = 8$, а $3^3 = 27$). Следовательно, этот двучлен нельзя разложить по формуле суммы кубов.

2) $9x^3 - 27a^3$

Это выражение является разностью, а не суммой, поэтому к нему неприменима формула суммы кубов. К тому же, как и в предыдущем пункте, член $9x^3$ не является полным кубом.

3) $8x^3 + 27a^3$

Этот двучлен является суммой. Проверим, являются ли слагаемые полными кубами. Первое слагаемое: $8x^3 = 2^3 \cdot x^3 = (2x)^3$. Второе слагаемое: $27a^3 = 3^3 \cdot a^3 = (3a)^3$. Оба слагаемых являются полными кубами. Значит, выражение можно представить в виде суммы кубов $(2x)^3 + (3a)^3$ и разложить на множители по соответствующей формуле. Этот вариант подходит.

4) $8x^3 - 27a^3$

Это выражение является разностью, а не суммой. Для его разложения можно использовать формулу разности кубов, но не сумму кубов, как требуется в условии задачи.

Таким образом, единственный двучлен из предложенных, который можно разложить на множители, используя формулу суммы кубов, — это $8x^3 + 27a^3$.

Ответ: 3