Номер 10, страница 213 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Глава 7. Разложение многочленов на множители. Чему вы научились. Проверьте себя - номер 10, страница 213.

Условие.

10 Сократите дробь $ \frac{4a^2 - 4a + 1}{4a^2 - 1} $.

1) $ \frac{1}{2a + 1} $

2) $ \frac{2a - 1}{2a + 1} $

3) $ \frac{1}{4a + 1} $

4) $ \frac{4a - 1}{4a + 1} $

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Чтобы сократить дробь, необходимо разложить на множители её числитель и знаменатель, используя формулы сокращенного умножения, а затем сократить общие множители.

1. Разложим на множители числитель.

Числитель дроби — это выражение $4a^2-4a+1$. Оно представляет собой полный квадрат разности, который раскладывается по формуле $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$.

В нашем случае $x=2a$ и $y=1$. Проверим, подставив в формулу:

$(2a-1)^2 = (2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot 1 + 1^2 = 4a^2-4a+1$.

Таким образом, числитель равен $(2a-1)^2$.

2. Разложим на множители знаменатель.

Знаменатель дроби — это выражение $4a^2-1$. Оно представляет собой разность квадратов, которая раскладывается по формуле $x^2-y^2 = (x-y)(x+y)$.

В нашем случае $x=2a$ и $y=1$. Подставим в формулу:

$(2a)^2 - 1^2 = (2a-1)(2a+1)$.

Таким образом, знаменатель равен $(2a-1)(2a+1)$.

3. Сократим дробь.

Подставим разложенные на множители числитель и знаменатель в исходную дробь:

$\frac{4a^2-4a+1}{4a^2-1} = \frac{(2a-1)^2}{(2a-1)(2a+1)}$

Представим квадрат в числителе как произведение и сократим общий множитель $(2a-1)$:

$\frac{(2a-1)(2a-1)}{(2a-1)(2a+1)} = \frac{2a-1}{2a+1}$

Полученный результат соответствует варианту ответа под номером 2.

Ответ: $\frac{2a-1}{2a+1}$