Номер 4, страница 213 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

4 В каких случаях выражение $a(a - y) + x(y - a)$ разложено на множители правильно?

1) $(a - y)(a - x)$

2) $(y - a)(x - a)$

3) $(a - y)(x - a)$

4) $(y - a)(a - x)$

Чтобы разложить выражение $a(a - y) + x(y - a)$ на множители, нужно найти общий множитель и вынести его за скобки. На первый взгляд, общих множителей нет. Однако, можно заметить, что выражения в скобках $(a - y)$ и $(y - a)$ отличаются только знаком. Мы можем преобразовать одно из них.

Воспользуемся свойством $y - a = -(a - y)$. Подставим это преобразование во второе слагаемое исходного выражения:

$a(a - y) + x(y - a) = a(a - y) + x(-(a - y))$

Теперь раскроем скобки во втором слагаемом:

$a(a - y) - x(a - y)$

Теперь у обоих слагаемых есть общий множитель $(a - y)$. Вынесем его за скобки:

$(a - y)(a - x)$

Это один из вариантов правильного разложения на множители.

Также можно было преобразовать первое слагаемое: $a - y = -(y - a)$.

$a(-(y - a)) + x(y - a) = -a(y - a) + x(y - a)$

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(y - a)$:

$(y - a)(x - a)$

Это второй вариант правильного разложения. Заметим, что оба результата эквивалентны, так как $(y - a)(x - a) = (-(a - y))(-(a - x)) = (-1) \cdot (-1) \cdot (a - y)(a - x) = (a - y)(a - x)$.

Теперь проверим каждый из предложенных вариантов.

1) $(a - y)(a - x)$

Этот вариант совпадает с первым результатом нашего разложения. Следовательно, это правильное разложение на множители.

Ответ: правильно.

2) $(y - a)(x - a)$

Этот вариант совпадает со вторым результатом нашего разложения. Следовательно, это тоже правильное разложение на множители.

Ответ: правильно.

3) $(a - y)(x - a)$

Сравним этот вариант с нашим результатом $(a - y)(a - x)$. Множитель $(a - y)$ совпадает, а множитель $(x - a)$ является противоположным к $(a - x)$, так как $(x - a) = -(a - x)$. Таким образом, $(a - y)(x - a) = -(a - y)(a - x)$. Это выражение не равно исходному. Следовательно, разложение выполнено неправильно.

Ответ: неправильно.

4) $(y - a)(a - x)$

Сравним этот вариант с нашим результатом $(a - y)(a - x)$. Множитель $(y - a)$ является противоположным к $(a - y)$, так как $(y - a) = -(a - y)$. Множитель $(a - x)$ совпадает. Таким образом, $(y - a)(a - x) = -(a - y)(a - x)$. Это выражение не равно исходному. Следовательно, разложение выполнено неправильно.

Ответ: неправильно.

Таким образом, правильное разложение на множители представлено в случаях 1 и 2.