Страница 213 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

1 Укажите общий множитель, который можно вынести за скобки в многочлене $6xy^2 - 15xy + 12x^2y$.

1) $6xy^2$

2) $6xy$

3) $3xy^2$

4) $3xy$

Чтобы найти общий множитель, который можно вынести за скобки в многочлене $6xy^2 - 15xy + 12x^2y$, необходимо найти наибольший общий делитель (НОД) для всех его одночленов.

Процесс нахождения НОД можно разбить на два этапа:

1. Нахождение НОД для числовых коэффициентов.

Коэффициенты многочлена: 6, 15, 12.

Найдём их наибольший общий делитель. Разложим числа на простые множители:

• $6 = 2 \cdot 3$
• $15 = 3 \cdot 5$
• $12 = 2^2 \cdot 3$

Общим для всех трех чисел является множитель 3. Таким образом, НОД(6, 15, 12) = 3.

2. Нахождение общей переменной части.

Для этого нужно для каждой переменной ($x$ и $y$) найти наименьшую степень, с которой она входит в каждый член многочлена.

• Для переменной $x$ степени в одночленах равны $x^1$, $x^1$, $x^2$. Наименьшая степень – 1. Значит, в общий множитель войдет $x^1$ или просто $x$.
• Для переменной $y$ степени в одночленах равны $y^2$, $y^1$, $y^1$. Наименьшая степень – 1. Значит, в общий множитель войдет $y^1$ или просто $y$.

Общая переменная часть равна $xy$.

Объединив результаты, получаем, что наибольший общий множитель для всего многочлена равен произведению НОД коэффициентов и общей переменной части: $3xy$.

Выполним проверку, вынеся $3xy$ за скобки:

$6xy^2 - 15xy + 12x^2y = 3xy(2y - 5 + 4x)$

Следовательно, правильный вариант ответа — 4.

Ответ: 4) $3xy$

2 Дан многочлен $8ab - 10ac$. Вынесите за скобки множитель $-2a$.

1) $-2a(4ab - 5ac)$

2) $-2a(4b + 5c)$

3) $-2a(5c - 4b)$

4) $-2a(5ac - 4ab)$

Чтобы вынести за скобки множитель $-2a$ из многочлена $8ab - 10ac$, необходимо каждый член этого многочлена разделить на $-2a$.

1. Делим первый член $8ab$ на $-2a$:

$\frac{8ab}{-2a} = \frac{8}{-2} \cdot \frac{a}{a} \cdot b = -4b$

2. Делим второй член $-10ac$ на $-2a$:

$\frac{-10ac}{-2a} = \frac{-10}{-2} \cdot \frac{a}{a} \cdot c = 5c$

3. Записываем вынесенный множитель $-2a$ перед скобками, а в скобки помещаем результаты деления:

$8ab - 10ac = -2a(-4b + 5c)$

4. Чтобы ответ соответствовал одному из предложенных вариантов, поменяем слагаемые в скобках местами, используя переместительное свойство сложения:

$-2a(-4b + 5c) = -2a(5c - 4b)$

Этот результат совпадает с вариантом ответа №3.

Проверка:

Чтобы убедиться в правильности решения, раскроем скобки:

$-2a(5c - 4b) = (-2a) \cdot 5c - (-2a) \cdot 4b = -10ac + 8ab = 8ab - 10ac$

Результат совпадает с исходным многочленом, следовательно, преобразование выполнено верно.

Ответ: 3) $-2a(5c - 4b)$

3 Сократите дробь $\frac{ax-2a}{ax}$.

Чтобы сократить алгебраическую дробь, необходимо найти общие множители в ее числителе и знаменателе, а затем разделить на них и числитель, и знаменатель.

Рассмотрим исходную дробь: $$ \frac{ax - 2a}{ax} $$

1. Преобразуем числитель дроби. Выражение $ax - 2a$ содержит общий множитель $a$, который можно вынести за скобки: $$ ax - 2a = a(x - 2) $$

2. Подставим полученное выражение обратно в дробь: $$ \frac{a(x - 2)}{ax} $$

3. Теперь мы видим, что и в числителе, и в знаменателе присутствует общий множитель $a$. Мы можем сократить дробь на $a$. Это действие возможно при условии, что $a \neq 0$ и $x \neq 0$, так как знаменатель дроби не может быть равен нулю. $$ \frac{\cancel{a}(x - 2)}{\cancel{a}x} = \frac{x - 2}{x} $$

Полученное выражение $\frac{x - 2}{x}$ является результатом сокращения. Важно отметить, что дальнейшее сокращение на $x$ невозможно, поскольку в числителе $x$ является слагаемым в выражении $(x-2)$, а не множителем всего числителя.

Ответ: $ \frac{x - 2}{x} $

4 В каких случаях выражение $a(a - y) + x(y - a)$ разложено на множители правильно?

1) $(a - y)(a - x)$

2) $(y - a)(x - a)$

3) $(a - y)(x - a)$

4) $(y - a)(a - x)$

Чтобы разложить выражение $a(a - y) + x(y - a)$ на множители, нужно найти общий множитель и вынести его за скобки. На первый взгляд, общих множителей нет. Однако, можно заметить, что выражения в скобках $(a - y)$ и $(y - a)$ отличаются только знаком. Мы можем преобразовать одно из них.

Воспользуемся свойством $y - a = -(a - y)$. Подставим это преобразование во второе слагаемое исходного выражения:

$a(a - y) + x(y - a) = a(a - y) + x(-(a - y))$

Теперь раскроем скобки во втором слагаемом:

$a(a - y) - x(a - y)$

Теперь у обоих слагаемых есть общий множитель $(a - y)$. Вынесем его за скобки:

$(a - y)(a - x)$

Это один из вариантов правильного разложения на множители.

Также можно было преобразовать первое слагаемое: $a - y = -(y - a)$.

$a(-(y - a)) + x(y - a) = -a(y - a) + x(y - a)$

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(y - a)$:

$(y - a)(x - a)$

Это второй вариант правильного разложения. Заметим, что оба результата эквивалентны, так как $(y - a)(x - a) = (-(a - y))(-(a - x)) = (-1) \cdot (-1) \cdot (a - y)(a - x) = (a - y)(a - x)$.

Теперь проверим каждый из предложенных вариантов.

1) $(a - y)(a - x)$

Этот вариант совпадает с первым результатом нашего разложения. Следовательно, это правильное разложение на множители.

Ответ: правильно.

2) $(y - a)(x - a)$

Этот вариант совпадает со вторым результатом нашего разложения. Следовательно, это тоже правильное разложение на множители.

Ответ: правильно.

3) $(a - y)(x - a)$

Сравним этот вариант с нашим результатом $(a - y)(a - x)$. Множитель $(a - y)$ совпадает, а множитель $(x - a)$ является противоположным к $(a - x)$, так как $(x - a) = -(a - x)$. Таким образом, $(a - y)(x - a) = -(a - y)(a - x)$. Это выражение не равно исходному. Следовательно, разложение выполнено неправильно.

Ответ: неправильно.

4) $(y - a)(a - x)$

Сравним этот вариант с нашим результатом $(a - y)(a - x)$. Множитель $(y - a)$ является противоположным к $(a - y)$, так как $(y - a) = -(a - y)$. Множитель $(a - x)$ совпадает. Таким образом, $(y - a)(a - x) = -(a - y)(a - x)$. Это выражение не равно исходному. Следовательно, разложение выполнено неправильно.

Ответ: неправильно.

Таким образом, правильное разложение на множители представлено в случаях 1 и 2.

5 Какой из одночленов нужно вписать вместо многоточия в многочлен $x^2y - 2xy^2 - 6x$ ..., чтобы его можно было разложить на множители способом группировки?

1) $+12y$

2) $+6y$

3) $-2y$

4) $-12y$

Для того чтобы многочлен $x^2y - 2xy^2 - 6x + ...$ можно было разложить на множители способом группировки, необходимо найти такой одночлен, который при добавлении к трём имеющимся членам позволит сгруппировать их попарно и вынести общий множитель из каждой группы так, чтобы в результате в скобках остались одинаковые выражения.

Обозначим искомый одночлен через $A$. Получим многочлен $x^2y - 2xy^2 - 6x + A$.

Попробуем сгруппировать первые два члена и вторые два члена: $(x^2y - 2xy^2) + (-6x + A)$.

Из первой группы можно вынести общий множитель $xy$. Получим: $xy(x - 2y)$.

Для успешного разложения на множители необходимо, чтобы после вынесения общего множителя из второй группы $(-6x + A)$ в скобках также осталось выражение $(x - 2y)$.

Это означает, что должно выполняться равенство: $-6x + A = k(x - 2y)$ для некоторого множителя $k$.

Раскроем скобки в правой части равенства: $k(x - 2y) = kx - 2ky$.

Теперь сравним два выражения: $-6x + A$ и $kx - 2ky$. Приравнивая коэффициенты при переменной $x$, получаем $k = -6$.

Приравнивая оставшиеся члены, получаем $A = -2ky$. Подставим найденное значение $k=-6$ в это выражение, чтобы найти $A$:

$A = -2(-6)y = 12y$

Таким образом, искомый одночлен — это $+12y$.

Проверим, подставив найденный одночлен в исходное выражение и выполнив разложение на множители:

$x^2y - 2xy^2 - 6x + 12y = (x^2y - 2xy^2) + (-6x + 12y) = xy(x - 2y) - 6(x - 2y) = (xy - 6)(x - 2y)$

Так как многочлен успешно разложен на множители, одночлен $+12y$ найден верно. Этот вариант соответствует пункту 1) в предложенных ответах.

Ответ: 1) +12y

6 Для разложения многочлена $8a^2 - 4a + 2ax - x$ на множители его члены сгруппировали:

1) $(8a^2 - 4a) + (2ax - x)$

2) $(8a^2 + 2ax) - (4a + x)$

3) $(8a^2 - x) - (4a - 2ax)$

Какие из этих способов группировки подходят для того, чтобы выполнить разложение на множители?

Для того чтобы определить, какой способ группировки подходит для разложения многочлена на множители, необходимо проверить, приводит ли каждый способ к появлению общего множителя после вынесения за скобки в каждой группе.

Исходный многочлен: $8a^2 - 4a + 2ax - x$.

1) $(8a^2 - 4a) + (2ax - x)$

Вынесем общие множители из каждой скобки:
В первой скобке $(8a^2 - 4a)$ общий множитель равен $4a$: $4a(2a - 1)$.
Во второй скобке $(2ax - x)$ общий множитель равен $x$: $x(2a - 1)$.
Получаем выражение: $4a(2a - 1) + x(2a - 1)$.
Теперь у нас есть общий множитель $(2a - 1)$, который мы можем вынести за скобки: $(2a - 1)(4a + x)$.
Разложение на множители выполнено успешно.

Ответ: данный способ группировки подходит.

2) $(8a^2 + 2ax) - (4a + x)$

Сначала убедимся, что группировка верна, раскрыв скобки: $(8a^2 + 2ax) - 4a - x = 8a^2 - 4a + 2ax - x$. Группировка верна.
Теперь вынесем общие множители из каждой группы:
В первой скобке $(8a^2 + 2ax)$ общий множитель равен $2a$: $2a(4a + x)$.
Во второй группе $(4a + x)$ общего множителя, кроме 1, нет, поэтому оставим как есть.
Получаем выражение: $2a(4a + x) - 1 \cdot (4a + x)$.
Теперь у нас есть общий множитель $(4a + x)$, который мы можем вынести за скобки: $(4a + x)(2a - 1)$.
Разложение на множители выполнено успешно.

Ответ: данный способ группировки подходит.

3) $(8a^2 - x) - (4a - 2ax)$

Проверим верность группировки: $(8a^2 - x) - 4a + 2ax = 8a^2 - 4a + 2ax - x$. Группировка верна.
Теперь вынесем общие множители из каждой группы:
В первой группе $(8a^2 - x)$ нет общего множителя (кроме 1).
Во второй группе $(4a - 2ax)$ общий множитель равен $2a$: $2a(2 - x)$.
Получаем выражение: $(8a^2 - x) - 2a(2 - x)$.
В полученном выражении нет общего множителя, который можно было бы вынести за скобки для дальнейшего разложения.

Ответ: данный способ группировки не подходит.

Таким образом, для выполнения разложения на множители подходят способы группировки, предложенные в пунктах 1 и 2.

7 Разложите на множители многочлен $x^2y - 3xy - xz + 3z.$

Для разложения многочлена $x^2y - 3xy - xz + 3z$ на множители используется метод группировки. Суть метода состоит в том, чтобы объединить слагаемые в группы таким образом, чтобы в каждой группе можно было вынести за скобки общий множитель, а затем вынести за скобки общий для всех групп множитель.

Решение:

1. Сгруппируем слагаемые. Можно сгруппировать первое со вторым и третье с четвертым:

$(x^2y - 3xy) + (-xz + 3z)$

2. В первой группе $(x^2y - 3xy)$ вынесем за скобки общий множитель $xy$:

$xy(x - 3)$

3. Во второй группе $(-xz + 3z)$ вынесем за скобки общий множитель $-z$, чтобы получить в скобках такое же выражение $(x - 3)$:

$-z(x - 3)$

4. Теперь исходное выражение можно переписать в следующем виде:

$xy(x - 3) - z(x - 3)$

5. Мы видим, что оба получившихся слагаемых имеют общий множитель — выражение в скобках $(x - 3)$. Вынесем его за скобки:

$(x - 3)(xy - z)$

Таким образом, разложение многочлена на множители завершено.

Ответ: $(x - 3)(xy - z)$

8 Какое из выражений нельзя разложить на множители, используя формулу разности квадратов?

1) $8x^2 - y^2$

2) $0.01a^2 - b^2$

3) $9c^4 - 16$

4) $25m^2 - 81n^2$

Чтобы разложить выражение на множители по формуле разности квадратов, оно должно иметь вид $A^2 - B^2$, где и $A^2$, и $B^2$ являются полными квадратами. Формула разложения: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$. Проанализируем каждый из предложенных вариантов.

1) $8x^2 - y^2$. В этом выражении второй член, $y^2$, является полным квадратом ($y^2 = (y)^2$). Однако первый член, $8x^2$, не является полным квадратом, так как коэффициент 8 — это не квадрат рационального числа ($\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$). Поэтому данное выражение нельзя разложить на множители по формуле разности квадратов (с рациональными коэффициентами).

2) $0.01a^2 - b^2$. Здесь оба члена являются полными квадратами. Первый член $0.01a^2$ можно представить как $(0.1a)^2$. Второй член $b^2$ является квадратом $b$. Таким образом, выражение можно разложить: $0.01a^2 - b^2 = (0.1a - b)(0.1a + b)$.

3) $9c^4 - 16$. В этом выражении также оба члена являются полными квадратами. Первый член $9c^4$ можно представить как $(3c^2)^2$. Второй член $16$ — это $4^2$. Следовательно, выражение раскладывается на множители: $9c^4 - 16 = (3c^2 - 4)(3c^2 + 4)$.

4) $25m^2 - 81n^2$. Оба члена этого выражения являются полными квадратами. Первый член $25m^2$ — это $(5m)^2$. Второй член $81n^2$ — это $(9n)^2$. Таким образом, выражение можно разложить: $25m^2 - 81n^2 = (5m - 9n)(5m + 9n)$.

Из всех предложенных вариантов только выражение $8x^2 - y^2$ нельзя разложить на множители с помощью формулы разности квадратов, так как один из его членов не является полным квадратом.

Ответ: $8x^2 - y^2$

9 Разложите на множители $0.25x^2 y^2 - z^2$.

Чтобы разложить данное выражение на множители, воспользуемся формулой сокращенного умножения, а именно разностью квадратов.

Формула разности квадратов имеет вид: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Рассмотрим исходное выражение: $0.25x^2y^2 - z^2$.

Представим каждый член этого выражения в виде квадрата некоторого одночлена.

Первый член: $0.25x^2y^2$. Поскольку $0.25 = (0.5)^2$ и $x^2y^2 = (xy)^2$, то весь член можно записать как $(0.5xy)^2$.

Второй член: $z^2$. Он уже представлен в виде квадрата.

Таким образом, наше выражение можно переписать в виде:

$(0.5xy)^2 - z^2$

Теперь мы можем применить формулу разности квадратов, где $a = 0.5xy$ и $b = z$.

$(0.5xy - z)(0.5xy + z)$

Ответ: $(0.5xy - z)(0.5xy + z)$

10 Сократите дробь $ \frac{4a^2 - 4a + 1}{4a^2 - 1} $.

1) $ \frac{1}{2a + 1} $

2) $ \frac{2a - 1}{2a + 1} $

3) $ \frac{1}{4a + 1} $

4) $ \frac{4a - 1}{4a + 1} $

Чтобы сократить дробь, необходимо разложить на множители её числитель и знаменатель, используя формулы сокращенного умножения, а затем сократить общие множители.

1. Разложим на множители числитель.

Числитель дроби — это выражение $4a^2-4a+1$. Оно представляет собой полный квадрат разности, который раскладывается по формуле $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$.

В нашем случае $x=2a$ и $y=1$. Проверим, подставив в формулу:

$(2a-1)^2 = (2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot 1 + 1^2 = 4a^2-4a+1$.

Таким образом, числитель равен $(2a-1)^2$.

2. Разложим на множители знаменатель.

Знаменатель дроби — это выражение $4a^2-1$. Оно представляет собой разность квадратов, которая раскладывается по формуле $x^2-y^2 = (x-y)(x+y)$.

В нашем случае $x=2a$ и $y=1$. Подставим в формулу:

$(2a)^2 - 1^2 = (2a-1)(2a+1)$.

Таким образом, знаменатель равен $(2a-1)(2a+1)$.

3. Сократим дробь.

Подставим разложенные на множители числитель и знаменатель в исходную дробь:

$\frac{4a^2-4a+1}{4a^2-1} = \frac{(2a-1)^2}{(2a-1)(2a+1)}$

Представим квадрат в числителе как произведение и сократим общий множитель $(2a-1)$:

$\frac{(2a-1)(2a-1)}{(2a-1)(2a+1)} = \frac{2a-1}{2a+1}$

Полученный результат соответствует варианту ответа под номером 2.

Ответ: $\frac{2a-1}{2a+1}$

11 Упростите выражение $ (c - 2)(c + 2) - (c - 1)^2 $.

1) $ 2c - 5 $

2) $ -2c - 3 $

3) $ -3 $

4) $ -1 $

11) Чтобы упростить выражение $(c-2)(c+2)-(c-1)^2$, необходимо применить формулы сокращенного умножения и выполнить последующие алгебраические преобразования.

1. Упростим первую часть выражения $(c-2)(c+2)$. Это формула разности квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. В нашем случае $a=c$ и $b=2$.

$(c-2)(c+2) = c^2 - 2^2 = c^2 - 4$

2. Упростим вторую часть выражения $(c-1)^2$. Это формула квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В нашем случае $a=c$ и $b=1$.

$(c-1)^2 = c^2 - 2 \cdot c \cdot 1 + 1^2 = c^2 - 2c + 1$

3. Теперь подставим упрощенные части обратно в исходное выражение:

$(c-2)(c+2) - (c-1)^2 = (c^2 - 4) - (c^2 - 2c + 1)$

4. Раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак минус, все знаки внутри нее меняются на противоположные:

$c^2 - 4 - c^2 + 2c - 1$

5. Приведем подобные слагаемые:

$(c^2 - c^2) + 2c + (-4 - 1) = 0 + 2c - 5 = 2c - 5$

Результат упрощения выражения — $2c - 5$. Этот результат соответствует варианту ответа под номером 1.

Ответ: 1) $2c - 5$.