Страница 207 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

7.87 Разложите выражение на множители двумя способами:

1) применив формулу разности квадратов;

2) раскрыв скобки и затем применив группировку:

а) $(1 + ab)^2 - (a + b)^2$;

б) $(a + 2x)^2 - (2 + ax)^2$.

а) $(1 + ab)^2 - (a + b)^2$

1) Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
В данном выражении $x = 1 + ab$ и $y = a + b$.

$(1 + ab)^2 - (a + b)^2 = ((1 + ab) - (a + b))((1 + ab) + (a + b)) = (1 + ab - a - b)(1 + ab + a + b)$.

Теперь разложим на множители выражения в каждой из скобок методом группировки:

Для первой скобки: $1 + ab - a - b = (1 - a) + (ab - b) = (1 - a) - b(1 - a) = (1 - a)(1 - b)$.

Для второй скобки: $1 + ab + a + b = (1 + a) + (ab + b) = (1 + a) + b(a + 1) = (1 + a)(1 + b)$.

В результате получаем: $(1 - a)(1 - b)(1 + a)(1 + b)$.
Сгруппировав множители, можно записать выражение как $((1 - a)(1 + a))((1 - b)(1 + b)) = (1 - a^2)(1 - b^2)$.

Ответ: $(1 - a^2)(1 - b^2)$.

2) Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$, и затем применим группировку.

$(1 + ab)^2 - (a + b)^2 = (1 + 2ab + a^2b^2) - (a^2 + 2ab + b^2)$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$1 + 2ab + a^2b^2 - a^2 - 2ab - b^2 = 1 - a^2 - b^2 + a^2b^2$.

Сгруппируем слагаемые: $(1 - a^2) - (b^2 - a^2b^2) = (1 - a^2) - b^2(1 - a^2)$.

Вынесем общий множитель $(1 - a^2)$ за скобки:

$(1 - a^2)(1 - b^2)$.

Ответ: $(1 - a^2)(1 - b^2)$.

б) $(a + 2x)^2 - (2 + ax)^2$

1) Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
В данном выражении $x = a + 2x$ и $y = 2 + ax$.

$(a + 2x)^2 - (2 + ax)^2 = ((a + 2x) - (2 + ax))((a + 2x) + (2 + ax)) = (a + 2x - 2 - ax)(a + 2x + 2 + ax)$.

Теперь разложим на множители выражения в каждой из скобок методом группировки:

Для первой скобки: $a + 2x - 2 - ax = (a - ax) + (2x - 2) = a(1 - x) - 2(1 - x) = (a - 2)(1 - x)$.

Для второй скобки: $a + 2x + 2 + ax = (a + ax) + (2x + 2) = a(1 + x) + 2(1 + x) = (a + 2)(1 + x)$.

В результате получаем: $(a - 2)(1 - x)(a + 2)(1 + x)$.
Сгруппировав множители, можно записать выражение как $((a - 2)(a + 2))((1 - x)(1 + x)) = (a^2 - 4)(1 - x^2)$.

Ответ: $(a^2 - 4)(1 - x^2)$.

2) Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы, и затем применим группировку.

$(a + 2x)^2 - (2 + ax)^2 = (a^2 + 4ax + 4x^2) - (4 + 4ax + a^2x^2)$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$a^2 + 4ax + 4x^2 - 4 - 4ax - a^2x^2 = a^2 + 4x^2 - 4 - a^2x^2$.

Сгруппируем слагаемые: $(a^2 - 4) + (4x^2 - a^2x^2) = (a^2 - 4) + x^2(4 - a^2) = (a^2 - 4) - x^2(a^2 - 4)$.

Вынесем общий множитель $(a^2 - 4)$ за скобки:

$(a^2 - 4)(1 - x^2)$.

Ответ: $(a^2 - 4)(1 - x^2)$.

7.88 ДОКАЗЫВАЕМ

Докажите, что разность между кубом любого натурального числа и этим числом делится на 6.

ДОКАЗЫВАЕМ

Пусть $n$ — любое натуральное число ($n \in \mathbb{N}$). Нам необходимо доказать, что разность $n^3 - n$ делится на 6 нацело.

Преобразуем данное выражение. Сначала вынесем общий множитель $n$ за скобки: $n^3 - n = n(n^2 - 1)$

Выражение в скобках, $n^2 - 1$, является разностью квадратов. Разложим его на множители по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$: $n(n^2 - 1) = n(n-1)(n+1)$

Для удобства расположим множители в порядке возрастания: $n^3 - n = (n-1)n(n+1)$

Полученное выражение представляет собой произведение трех последовательных целых чисел. Чтобы доказать, что это произведение делится на 6, достаточно доказать, что оно делится на 2 и на 3, так как числа 2 и 3 взаимно простые, и их произведение равно $2 \cdot 3 = 6$.

1. Делимость на 2. Среди любых двух последовательных чисел одно обязательно является четным. В нашем произведении $(n-1)n(n+1)$ есть как минимум одна пара последовательных чисел (например, $n-1$ и $n$), а значит, среди трех множителей всегда найдется хотя бы одно четное число. Следовательно, всё произведение делится на 2.

2. Делимость на 3. Среди любых трех последовательных чисел одно и только одно число делится на 3. Так как $(n-1)$, $n$ и $(n+1)$ являются тремя последовательными числами, одно из них обязательно кратно 3. Следовательно, их произведение также делится на 3.

Поскольку выражение $(n-1)n(n+1)$ делится и на 2, и на 3, оно гарантированно делится на их произведение, то есть на 6.

Таким образом, разность между кубом любого натурального числа и самим этим числом всегда делится на 6.

Ответ: Утверждение доказано.

7.89 ИССЛЕДУЕМ

1) Докажите, что:

а) $\frac{x^{16} - y^{16}}{x - y} = (x + y)(x^2 + y^2)(x^4 + y^4)(x^8 + y^8);$

б) $\frac{x^{64} - y^{64}}{x - y} = (x + y)(x^2 + y^2) \dots (x^{32} + y^{32}).$

2) Что вы заметили? Можно ли сократить дробь $\frac{x^8 - y^8}{x - y}$? $\frac{x^{10} - y^{10}}{x - y}$?

3) Сократите дробь $\frac{x^{210} - y^{210}}{x - y}.$

Для доказательства тождества преобразуем его правую часть. Домножим и разделим правую часть на выражение $(x-y)$, а затем последовательно применим формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x+y)(x^2+y^2)(x^4+y^4)(x^8+y^8) = \frac{(x-y)(x+y)(x^2+y^2)(x^4+y^4)(x^8+y^8)}{x-y}$

Начнем сворачивать произведение в числителе:

$(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$

$(x^2 - y^2)(x^2+y^2) = (x^2)^2 - (y^2)^2 = x^4 - y^4$

$(x^4 - y^4)(x^4+y^4) = (x^4)^2 - (y^4)^2 = x^8 - y^8$

$(x^8 - y^8)(x^8+y^8) = (x^8)^2 - (y^8)^2 = x^{16} - y^{16}$

Подставив результат в исходное выражение, получим:

$\frac{x^{16} - y^{16}}{x-y}$

Правая часть тождества равна левой, что и требовалось доказать.

Доказательство аналогично предыдущему пункту. Разложим числитель $x^{64}-y^{64}$ на множители, многократно используя формулу разности квадратов:

$x^{64}-y^{64} = (x^{32}-y^{32})(x^{32}+y^{32})$

$= (x^{16}-y^{16})(x^{16}+y^{16})(x^{32}+y^{32})$

$= (x^{8}-y^{8})(x^{8}+y^{8})(x^{16}+y^{16})(x^{32}+y^{32})$

$= (x^{4}-y^{4})(x^{4}+y^{4})(x^{8}+y^{8})(x^{16}+y^{16})(x^{32}+y^{32})$

$= (x^{2}-y^{2})(x^{2}+y^{2})(x^{4}+y^{4})(x^{8}+y^{8})(x^{16}+y^{16})(x^{32}+y^{32})$

$= (x-y)(x+y)(x^{2}+y^{2})(x^{4}+y^{4})(x^{8}+y^{8})(x^{16}+y^{16})(x^{32}+y^{32})$

Теперь разделим полученное выражение на $(x-y)$:

$\frac{x^{64}-y^{64}}{x-y} = \frac{(x-y)(x+y)(x^{2}+y^{2})...(x^{32}+y^{32})}{x-y} = (x+y)(x^{2}+y^{2})...(x^{32}+y^{32})$

Тождество доказано.

Можно заметить общую закономерность: дробь вида $\frac{x^{2^n} - y^{2^n}}{x-y}$ можно сократить, и результатом будет произведение скобок вида $(x^{2^k}+y^{2^k})$:

$\frac{x^{2^n} - y^{2^n}}{x-y} = (x+y)(x^2+y^2)(x^4+y^4)...(x^{2^{n-1}}+y^{2^{n-1}})$

Эта закономерность работает, когда показатель степени является степенью двойки.

Дробь $\frac{x^8 - y^8}{x-y}$ можно сократить, так как показатель $8$ является степенью двойки ($8 = 2^3$). Применяя замеченную закономерность для $n=3$, получаем:

$\frac{x^8 - y^8}{x-y} = (x+y)(x^2+y^2)(x^4+y^4)$

Дробь $\frac{x^{10} - y^{10}}{x-y}$ также можно сократить, но другим способом, так как $10$ не является степенью двойки. Для этого используется общая формула разности степеней $a^k - b^k = (a-b)(a^{k-1} + a^{k-2}b + ... + b^{k-1})$.

$\frac{x^{10} - y^{10}}{x-y} = x^9 + x^8y + x^7y^2 + x^6y^3 + x^5y^4 + x^4y^5 + x^3y^6 + x^2y^7 + xy^8 + y^9$

Таким образом, обе дроби сократимы, но только в случае, когда степень является степенью двойки, результат разложения представляет собой изящное произведение скобок с суммами.

Ответ: Да, обе дроби можно сократить. Закономерность из пункта 1 применима только для дроби $\frac{x^8 - y^8}{x-y}$, так как 8 — это степень двойки. Дробь $\frac{x^{10} - y^{10}}{x-y}$ тоже сократима, но по общей формуле.

Используя закономерность, выведенную в предыдущих пунктах, для $n=10$. Показатель степени в числителе — $2^{10}$.

$\frac{x^{2^{10}} - y^{2^{10}}}{x-y} = (x^{2^0}+y^{2^0})(x^{2^1}+y^{2^1})(x^{2^2}+y^{2^2})...(x^{2^{10-1}}+y^{2^{10-1}})$

Последний множитель в произведении будет иметь степень $2^{10-1} = 2^9 = 512$. Распишем произведение полностью:

Ответ: $(x+y)(x^2+y^2)(x^4+y^4)(x^8+y^8)(x^{16}+y^{16})(x^{32}+y^{32})(x^{64}+y^{64})(x^{128}+y^{128})(x^{256}+y^{256})(x^{512}+y^{512})$