Страница 200 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

7.48 ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ Вычислите, используя формулу

$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2:$

а): $19 \cdot 21;$

б): $99 \cdot 101;$

в): $28 \cdot 32;$

г): $4\frac{1}{2} \cdot 5\frac{1}{2}.$

Образец.

$49 \cdot 51 = (50 - 1)(50 + 1) = 50^2 - 1 = 2500 - 1 = 2499.$

а) Чтобы вычислить произведение $19 \cdot 21$, представим множители в виде $(a-b)$ и $(a+b)$. Для этого найдем их среднее арифметическое, которое будет значением $a$: $a = (19+21)/2 = 20$. Теперь найдем $b$: $b = 20 - 19 = 1$. Таким образом, $19 = 20 - 1$ и $21 = 20 + 1$.

Применяем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$19 \cdot 21 = (20-1)(20+1) = 20^2 - 1^2 = 400 - 1 = 399$.

Ответ: 399

б) Для вычисления $99 \cdot 101$ найдем среднее арифметическое множителей: $a = (99+101)/2 = 100$. Отклонение от среднего равно $b = 100 - 99 = 1$. Значит, $99 = 100 - 1$ и $101 = 100 + 1$.

Используем формулу $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$99 \cdot 101 = (100-1)(100+1) = 100^2 - 1^2 = 10000 - 1 = 9999$.

Ответ: 9999

в) Для произведения $28 \cdot 32$ найдем среднее арифметическое: $a = (28+32)/2 = 30$. Отклонение от среднего равно $b = 30 - 28 = 2$. Таким образом, $28 = 30 - 2$ и $32 = 30 + 2$.

Подставляем в формулу разности квадратов:

$28 \cdot 32 = (30-2)(30+2) = 30^2 - 2^2 = 900 - 4 = 896$.

Ответ: 896

г) Для произведения $4\frac{1}{2} \cdot 5\frac{1}{2}$ найдем среднее арифметическое: $a = (4\frac{1}{2} + 5\frac{1}{2})/2 = 10/2 = 5$. Отклонение от среднего равно $b = 5 - 4\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$. Таким образом, $4\frac{1}{2} = 5 - \frac{1}{2}$ и $5\frac{1}{2} = 5 + \frac{1}{2}$.

Применяем формулу $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$4\frac{1}{2} \cdot 5\frac{1}{2} = (5 - \frac{1}{2})(5 + \frac{1}{2}) = 5^2 - (\frac{1}{2})^2 = 25 - \frac{1}{4} = 24\frac{3}{4}$.

Ответ: $24\frac{3}{4}$

Представьте выражение в виде многочлена (7.49–7.51).

7.49

a) $2y^2 + (y - 2)(y + 2);$

б) $15 - (a + 3)(a - 3);$

в) $(2b - c)(2b + c) - 2c^2;$

г) $(1 - 3k)(1 + 3k) - k^2.$

а) $2y^2 + (y - 2)(y + 2)$

Для упрощения произведения в скобках $(y - 2)(y + 2)$ применим формулу сокращенного умножения "разность квадратов": $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

В нашем случае $a = y$ и $b = 2$, поэтому $(y - 2)(y + 2) = y^2 - 2^2 = y^2 - 4$.

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$2y^2 + (y^2 - 4) = 2y^2 + y^2 - 4$

Приведем подобные слагаемые, сложив коэффициенты при $y^2$:

$(2 + 1)y^2 - 4 = 3y^2 - 4$

Ответ: $3y^2 - 4$

б) $15 - (a + 3)(a - 3)$

Сначала раскроем скобки $(a + 3)(a - 3)$, используя формулу разности квадратов $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$.

Получаем: $(a + 3)(a - 3) = a^2 - 3^2 = a^2 - 9$.

Подставим это в исходное выражение:

$15 - (a^2 - 9)$

Так как перед скобкой стоит знак минус, при раскрытии скобок знаки слагаемых внутри меняются на противоположные:

$15 - a^2 + 9$

Приведем подобные слагаемые (сложим константы):

$15 + 9 - a^2 = 24 - a^2$

Ответ: $24 - a^2$

в) $(2b - c)(2b + c) - 2c^2$

Воспользуемся формулой разности квадратов для произведения $(2b - c)(2b + c)$. Здесь $a = 2b$ и $b = c$.

$(2b - c)(2b + c) = (2b)^2 - c^2 = 4b^2 - c^2$.

Подставим полученное выражение в исходное:

$(4b^2 - c^2) - 2c^2$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$4b^2 - c^2 - 2c^2 = 4b^2 - 3c^2$

Ответ: $4b^2 - 3c^2$

г) $(1 - 3k)(1 + 3k) - k^2$

Применим формулу разности квадратов к выражению $(1 - 3k)(1 + 3k)$, где $a = 1$ и $b = 3k$.

$(1 - 3k)(1 + 3k) = 1^2 - (3k)^2 = 1 - 9k^2$.

Подставим результат в исходное выражение:

$(1 - 9k^2) - k^2$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$1 - 9k^2 - k^2 = 1 - 10k^2$

Ответ: $1 - 10k^2$

7.50 a) $(a - 1)(a + 1) + a(a - 2);$

б) $(2x - y)(y + 2x) + x(4 - 3x);$

в) $5c(c + 1) - (b - 3c)(b + 3c);$

г) $(y - 2)(y + 2) + (3 - y)(3 + y);$

д) $(a + b)(a - b) - (a - b)^2;$

е) $(2a + 1)^2 + (1 - 2a)(1 + 2a).$

а) Для упрощения выражения воспользуемся формулой разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$ и распределительным свойством умножения.
$(a - 1)(a + 1) + a(a - 2) = (a^2 - 1^2) + (a \cdot a - a \cdot 2) = (a^2 - 1) + (a^2 - 2a) = a^2 - 1 + a^2 - 2a$.
Приведем подобные слагаемые:
$a^2 + a^2 - 2a - 1 = 2a^2 - 2a - 1$.
Ответ: $2a^2 - 2a - 1$.

б) В первом произведении поменяем местами слагаемые во второй скобке: $(2x - y)(y + 2x) = (2x - y)(2x + y)$. Теперь это формула разности квадратов. Второе слагаемое упростим, раскрыв скобки.
$(2x - y)(2x + y) + x(4 - 3x) = ((2x)^2 - y^2) + (x \cdot 4 - x \cdot 3x) = (4x^2 - y^2) + (4x - 3x^2) = 4x^2 - y^2 + 4x - 3x^2$.
Приведем подобные слагаемые:
$4x^2 - 3x^2 - y^2 + 4x = x^2 - y^2 + 4x$.
Ответ: $x^2 - y^2 + 4x$.

в) Раскроем скобки в первом слагаемом. Второе слагаемое представляет собой разность квадратов.
$5c(c + 1) - (b - 3c)(b + 3c) = (5c \cdot c + 5c \cdot 1) - (b^2 - (3c)^2) = (5c^2 + 5c) - (b^2 - 9c^2)$.
Раскроем вторые скобки, изменив знаки на противоположные:
$5c^2 + 5c - b^2 + 9c^2$.
Приведем подобные слагаемые:
$5c^2 + 9c^2 - b^2 + 5c = 14c^2 - b^2 + 5c$.
Ответ: $14c^2 - b^2 + 5c$.

г) Оба слагаемых являются произведениями вида "разность на сумму", поэтому к обоим применим формулу разности квадратов.
$(y - 2)(y + 2) + (3 - y)(3 + y) = (y^2 - 2^2) + (3^2 - y^2) = (y^2 - 4) + (9 - y^2)$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$y^2 - 4 + 9 - y^2 = y^2 - y^2 - 4 + 9 = 5$.
Ответ: $5$.

д) Первое слагаемое — это разность квадратов, а второе — квадрат разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
$(a + b)(a - b) - (a - b)^2 = (a^2 - b^2) - (a^2 - 2ab + b^2)$.
Раскроем скобки, меняя знаки:
$a^2 - b^2 - a^2 + 2ab - b^2$.
Приведем подобные слагаемые:
$a^2 - a^2 - b^2 - b^2 + 2ab = 2ab - 2b^2$.
Ответ: $2ab - 2b^2$.

е) Первое слагаемое — это квадрат суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$, а второе — разность квадратов.
$(2a + 1)^2 + (1 - 2a)(1 + 2a) = ((2a)^2 + 2 \cdot 2a \cdot 1 + 1^2) + (1^2 - (2a)^2) = (4a^2 + 4a + 1) + (1 - 4a^2)$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$4a^2 + 4a + 1 + 1 - 4a^2 = 4a^2 - 4a^2 + 4a + 1 + 1 = 4a + 2$.
Ответ: $4a + 2$.

7.51 а) $a(a + 1)(a - 1);$

Б) $-2(x - 2)(x + 2);$

В) $2b(c - b)(c + b);$

Г) $3a(1 + b)(b - 1).$

а) Для упрощения выражения $a(a + 1)(a - 1)$ сначала рассмотрим произведение скобок $(a + 1)(a - 1)$. Это формула разности квадратов: $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$.
Применим ее: $(a + 1)(a - 1) = a^2 - 1^2 = a^2 - 1$.
Теперь умножим полученный результат на $a$:
$a(a^2 - 1) = a \cdot a^2 - a \cdot 1 = a^3 - a$.
Ответ: $a^3 - a$.

б) В выражении $-2(x - 2)(x + 2)$ также используем формулу разности квадратов для произведения $(x - 2)(x + 2)$.
$(x - 2)(x + 2) = x^2 - 2^2 = x^2 - 4$.
Далее, умножим полученный двучлен на $-2$:
$-2(x^2 - 4) = -2 \cdot x^2 - 2 \cdot (-4) = -2x^2 + 8$.
Ответ: $-2x^2 + 8$.

в) Для упрощения выражения $2b(c - b)(c + b)$ снова применим формулу разности квадратов к множителям в скобках.
$(c - b)(c + b) = c^2 - b^2$.
Теперь умножим результат на $2b$:
$2b(c^2 - b^2) = 2b \cdot c^2 - 2b \cdot b^2 = 2bc^2 - 2b^3$.
Ответ: $2bc^2 - 2b^3$.

г) В выражении $3a(1 + b)(b - 1)$ сначала поменяем слагаемые местами в первой скобке: $(1 + b) = (b + 1)$. Выражение примет вид $3a(b + 1)(b - 1)$.
Теперь произведение $(b + 1)(b - 1)$ является разностью квадратов: $(b + 1)(b - 1) = b^2 - 1^2 = b^2 - 1$.
Наконец, умножим полученный результат на $3a$:
$3a(b^2 - 1) = 3a \cdot b^2 - 3a \cdot 1 = 3ab^2 - 3a$.
Ответ: $3ab^2 - 3a$.

7.52 ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ Вычислите:

а) $\frac{1-0,8^2}{0,6}$;

б) $\frac{1,4^2-0,5^2}{0,3^2}$;

в) $\frac{6,4}{4^2-0,8^2}$;

г) $\frac{0,3^2}{0,4^2-0,2^2}$;

д) $\frac{1,7^2-1,3^2}{2,8^2-2,2^2}$;

е) $\frac{1,2^2-0,3^2}{0,8^2-0,7^2}$.

а) Для вычисления значения выражения $\frac{1-0,8^2}{0,6}$ воспользуемся формулой разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ для числителя. Представим 1 как $1^2$.
$\frac{1^2-0,8^2}{0,6} = \frac{(1-0,8)(1+0,8)}{0,6} = \frac{0,2 \cdot 1,8}{0,6}$
Сократим дробь на 0,6:
$\frac{0,2 \cdot 1,8}{0,6} = 0,2 \cdot \frac{1,8}{0,6} = 0,2 \cdot 3 = 0,6$.
Ответ: 0,6

б) В выражении $\frac{1,4^2-0,5^2}{0,3^2}$ применим формулу разности квадратов к числителю.
$\frac{(1,4-0,5)(1,4+0,5)}{0,3^2} = \frac{0,9 \cdot 1,9}{0,09}$
Разделим 0,9 на 0,09:
$\frac{0,9}{0,09} \cdot 1,9 = 10 \cdot 1,9 = 19$.
Ответ: 19

в) В выражении $\frac{6,4}{4^2-0,8^2}$ применим формулу разности квадратов к знаменателю.
$\frac{6,4}{(4-0,8)(4+0,8)} = \frac{6,4}{3,2 \cdot 4,8}$
Сократим дробь на 3,2:
$\frac{6,4}{3,2 \cdot 4,8} = \frac{2}{4,8} = \frac{20}{48} = \frac{5}{12}$.
Ответ: $\frac{5}{12}$

г) В выражении $\frac{0,3^2}{0,4^2-0,2^2}$ применим формулу разности квадратов к знаменателю.
$\frac{0,3^2}{(0,4-0,2)(0,4+0,2)} = \frac{0,09}{0,2 \cdot 0,6} = \frac{0,09}{0,12}$
Сократим дробь, убрав десятичные знаки:
$\frac{9}{12} = \frac{3}{4} = 0,75$.
Ответ: 0,75

д) В выражении $\frac{1,7^2-1,3^2}{2,8^2-2,2^2}$ применим формулу разности квадратов и к числителю, и к знаменателю.
$\frac{(1,7-1,3)(1,7+1,3)}{(2,8-2,2)(2,8+2,2)} = \frac{0,4 \cdot 3}{0,6 \cdot 5} = \frac{1,2}{3}$
Выполним деление:
$\frac{1,2}{3} = 0,4$.
Ответ: 0,4

е) В выражении $\frac{1,2^2-0,3^2}{0,8^2-0,7^2}$ применим формулу разности квадратов к числителю и знаменателю.
$\frac{(1,2-0,3)(1,2+0,3)}{(0,8-0,7)(0,8+0,7)} = \frac{0,9 \cdot 1,5}{0,1 \cdot 1,5}$
Сократим дробь на 1,5:
$\frac{0,9}{0,1} = 9$.
Ответ: 9

7.53 Представьте в виде произведения:

a) $(k + m)^2 - n^2$;

б) $(p - n)^2 - 1;

в) $(x - y)^2 - 1;

г) $(x + y)^2 - (x - y)^2;

д) $(x - 1)^2 - (x + 1)^2;

е) $(a - 2b)^2 - (2a - b)^2.

Для решения всех задач используется формула разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.

а)

В выражении $(k + m)^2 - n^2$ примем $A = k + m$ и $B = n$.

Применим формулу разности квадратов:

$(k + m)^2 - n^2 = ((k + m) - n)((k + m) + n) = (k + m - n)(k + m + n)$.

Ответ: $(k + m - n)(k + m + n)$.

б)

В выражении $(p - n)^2 - 1$ представим $1$ как $1^2$. Примем $A = p - n$ и $B = 1$.

Применим формулу разности квадратов:

$(p - n)^2 - 1^2 = ((p - n) - 1)((p - n) + 1) = (p - n - 1)(p - n + 1)$.

Ответ: $(p - n - 1)(p - n + 1)$.

в)

В выражении $(x - y)^2 - 1$ представим $1$ как $1^2$. Примем $A = x - y$ и $B = 1$.

Применим формулу разности квадратов:

$(x - y)^2 - 1^2 = ((x - y) - 1)((x - y) + 1) = (x - y - 1)(x - y + 1)$.

Ответ: $(x - y - 1)(x - y + 1)$.

г)

В выражении $(x + y)^2 - (x - y)^2$ примем $A = x + y$ и $B = x - y$.

Применим формулу разности квадратов:

$(x + y)^2 - (x - y)^2 = ((x + y) - (x - y))((x + y) + (x - y))$.

Раскроем скобки внутри каждого множителя и упростим:

$(x + y - x + y)(x + y + x - y) = (2y)(2x) = 4xy$.

Ответ: $4xy$.

д)

В выражении $(x - 1)^2 - (x + 1)^2$ примем $A = x - 1$ и $B = x + 1$.

Применим формулу разности квадратов:

$(x - 1)^2 - (x + 1)^2 = ((x - 1) - (x + 1))((x - 1) + (x + 1))$.

Раскроем скобки внутри каждого множителя и упростим:

$(x - 1 - x - 1)(x - 1 + x + 1) = (-2)(2x) = -4x$.

Ответ: $-4x$.

е)

В выражении $(a - 2b)^2 - (2a - b)^2$ примем $A = a - 2b$ и $B = 2a - b$.

Применим формулу разности квадратов:

$(a - 2b)^2 - (2a - b)^2 = ((a - 2b) - (2a - b))((a - 2b) + (2a - b))$.

Раскроем скобки внутри каждого множителя и упростим:

$(a - 2b - 2a + b)(a - 2b + 2a - b) = (-a - b)(3a - 3b)$.

Вынесем общие множители за скобки:

$-(a + b) \cdot 3(a - b) = -3(a + b)(a - b)$.

Ответ: $-3(a + b)(a - b)$.

7.54 Разложите на множители:

a) $(a + b) + (a^2 - b^2)$;

б) $(x - y) + (x^2 - y^2)$;

в) $(b + c) - (b^2 - c^2)$;

г) $(2 - x) - (4 - x^2)$;

д) $(y - 1)^2 - (y^2 - 1)$;

е) $(a^2 - 4) + (a - 2)^2$.

а) $(a + b) + (a^2 - b^2)$

Для разложения на множители выражения $(a + b) + (a^2 - b^2)$ воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Подставим разложение второго слагаемого в исходное выражение:

$(a + b) + (a - b)(a + b)$

Мы видим, что оба слагаемых имеют общий множитель $(a + b)$. Вынесем его за скобки:

$(a + b) \cdot (1 + (a - b))$

Раскроем внутренние скобки и упростим выражение:

$(a + b)(1 + a - b)$

Ответ: $(a + b)(a - b + 1)$

б) $(x - y) + (x^2 - y^2)$

Данное выражение похоже на предыдущее. Используем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

Заменим второе слагаемое его разложением на множители:

$(x - y) + (x - y)(x + y)$

Общий множитель здесь — это $(x - y)$. Выносим его за скобки:

$(x - y) \cdot (1 + (x + y))$

Упрощаем выражение во второй скобке:

$(x - y)(1 + x + y)$

Ответ: $(x - y)(x + y + 1)$

в) $(b + c) - (b^2 - c^2)$

Применим формулу разности квадратов $b^2 - c^2 = (b - c)(b + c)$ к вычитаемому.

Выражение принимает вид:

$(b + c) - (b - c)(b + c)$

Вынесем общий множитель $(b + c)$ за скобки:

$(b + c) \cdot (1 - (b - c))$

Раскроем внутренние скобки, обращая внимание на знак минус перед ними:

$(b + c)(1 - b + c)$

Ответ: $(b + c)(1 - b + c)$

г) $(2 - x) - (4 - x^2)$

Выражение в скобках $4 - x^2$ представляет собой разность квадратов $2^2 - x^2$. Разложим его по формуле: $4 - x^2 = (2 - x)(2 + x)$.

Подставим в исходное выражение:

$(2 - x) - (2 - x)(2 + x)$

Общим множителем является $(2 - x)$. Вынесем его за скобки:

$(2 - x) \cdot (1 - (2 + x))$

Упростим выражение во второй скобке:

$(2 - x)(1 - 2 - x) = (2 - x)(-1 - x)$

Для более удобной записи вынесем $-1$ из каждой скобки: $(-1)(x - 2) \cdot (-1)(1 + x) = (x - 2)(x + 1)$.

Ответ: $(x - 2)(x + 1)$

д) $(y - 1)^2 - (y^2 - 1)$

Разложим выражение $y^2 - 1$ как разность квадратов: $y^2 - 1 = (y - 1)(y + 1)$.

Исходное выражение примет вид:

$(y - 1)^2 - (y - 1)(y + 1)$

Вынесем общий множитель $(y - 1)$ за скобки:

$(y - 1) \cdot ((y - 1) - (y + 1))$

Упростим выражение во второй скобке:

$(y - 1)(y - 1 - y - 1) = (y - 1)(-2)$

Запишем в стандартном виде:

$-2(y - 1)$

Ответ: $-2(y - 1)$

е) $(a^2 - 4) + (a - 2)^2$

Первое слагаемое $a^2 - 4$ является разностью квадратов. Разложим его на множители: $a^2 - 4 = (a - 2)(a + 2)$.

Подставим разложение в исходное выражение:

$(a - 2)(a + 2) + (a - 2)^2$

Общий множитель здесь — это $(a - 2)$. Вынесем его за скобки:

$(a - 2) \cdot ((a + 2) + (a - 2))$

Упростим выражение во второй скобке:

$(a - 2)(a + 2 + a - 2) = (a - 2)(2a)$

Запишем множители в стандартном порядке:

$2a(a - 2)$

Ответ: $2a(a - 2)$

7.55 Докажите, что:

а) если из квадрата натурального числа вычесть квадрат предыдущего натурального числа, то получится сумма этих чисел;

$n^2 - (n-1)^2 = n + (n-1)$

б) если из квадрата чётного числа вычесть квадрат предыдущего чётного натурального числа, то получится удвоенная сумма этих чисел.

$(2n)^2 - (2n-2)^2 = 2(2n + (2n-2))$

Проиллюстрируйте доказанные утверждения конкретными примерами.

а) Обозначим произвольное натуральное число через $n$. Тогда предыдущее ему натуральное число равно $n-1$ (это справедливо для всех $n \ge 2$). Требуется доказать, что разность их квадратов равна их сумме. Запишем это утверждение в виде тождества: $n^2 - (n-1)^2 = n + (n-1)$.

Для доказательства преобразуем левую часть равенства, применив формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$n^2 - (n-1)^2 = (n - (n-1))(n + (n-1)) = (n - n + 1)(n + n - 1) = 1 \cdot (2n-1) = 2n-1$.

Теперь рассмотрим правую часть равенства, которая представляет собой сумму этих чисел:

$n + (n-1) = 2n-1$.

Поскольку левая и правая части равенства приводятся к одному и тому же выражению $2n-1$, тождество доказано.

Иллюстрация на примере:

Возьмём натуральное число $n=7$. Предыдущее число равно $6$.

Разность их квадратов: $7^2 - 6^2 = 49 - 36 = 13$.

Сумма этих чисел: $7 + 6 = 13$.

Результаты совпадают, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

б) Обозначим произвольное чётное натуральное число через $2k$, где $k$ — натуральное число. Тогда предыдущее ему чётное натуральное число равно $2k-2$ (это справедливо для всех $k \ge 2$). Требуется доказать, что разность их квадратов равна удвоенной их сумме. Запишем это утверждение в виде тождества:

$(2k)^2 - (2k-2)^2 = 2(2k + (2k-2))$.

Для доказательства преобразуем левую часть равенства, используя формулу разности квадратов:

$(2k)^2 - (2k-2)^2 = (2k - (2k-2))(2k + (2k-2)) = (2k - 2k + 2)(4k-2) = 2(4k-2) = 8k-4$.

Теперь преобразуем правую часть равенства, которая представляет собой удвоенную сумму этих чисел:

$2(2k + (2k-2)) = 2(4k-2) = 8k-4$.

Поскольку левая и правая части равенства приводятся к одному и тому же выражению $8k-4$, тождество доказано.

Иллюстрация на примере:

Возьмём чётное число $12$ (здесь $k=6$). Предыдущее чётное число равно $10$.

Разность их квадратов: $12^2 - 10^2 = 144 - 100 = 44$.

Удвоенная сумма этих чисел: $2(12 + 10) = 2 \cdot 22 = 44$.

Результаты совпадают, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.