Номер 7.54, страница 200 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Глава 7. Разложение многочленов на множители. 7.3. Формула разности квадратов. Упражнения - номер 7.54, страница 200.

Условие.

7.54 Разложите на множители:

a) $(a + b) + (a^2 - b^2)$;

б) $(x - y) + (x^2 - y^2)$;

в) $(b + c) - (b^2 - c^2)$;

г) $(2 - x) - (4 - x^2)$;

д) $(y - 1)^2 - (y^2 - 1)$;

е) $(a^2 - 4) + (a - 2)^2$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а) $(a + b) + (a^2 - b^2)$

Для разложения на множители выражения $(a + b) + (a^2 - b^2)$ воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Подставим разложение второго слагаемого в исходное выражение:

$(a + b) + (a - b)(a + b)$

Мы видим, что оба слагаемых имеют общий множитель $(a + b)$. Вынесем его за скобки:

$(a + b) \cdot (1 + (a - b))$

Раскроем внутренние скобки и упростим выражение:

$(a + b)(1 + a - b)$

Ответ: $(a + b)(a - b + 1)$

б) $(x - y) + (x^2 - y^2)$

Данное выражение похоже на предыдущее. Используем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

Заменим второе слагаемое его разложением на множители:

$(x - y) + (x - y)(x + y)$

Общий множитель здесь — это $(x - y)$. Выносим его за скобки:

$(x - y) \cdot (1 + (x + y))$

Упрощаем выражение во второй скобке:

$(x - y)(1 + x + y)$

Ответ: $(x - y)(x + y + 1)$

в) $(b + c) - (b^2 - c^2)$

Применим формулу разности квадратов $b^2 - c^2 = (b - c)(b + c)$ к вычитаемому.

Выражение принимает вид:

$(b + c) - (b - c)(b + c)$

Вынесем общий множитель $(b + c)$ за скобки:

$(b + c) \cdot (1 - (b - c))$

Раскроем внутренние скобки, обращая внимание на знак минус перед ними:

$(b + c)(1 - b + c)$

Ответ: $(b + c)(1 - b + c)$

г) $(2 - x) - (4 - x^2)$

Выражение в скобках $4 - x^2$ представляет собой разность квадратов $2^2 - x^2$. Разложим его по формуле: $4 - x^2 = (2 - x)(2 + x)$.

Подставим в исходное выражение:

$(2 - x) - (2 - x)(2 + x)$

Общим множителем является $(2 - x)$. Вынесем его за скобки:

$(2 - x) \cdot (1 - (2 + x))$

Упростим выражение во второй скобке:

$(2 - x)(1 - 2 - x) = (2 - x)(-1 - x)$

Для более удобной записи вынесем $-1$ из каждой скобки: $(-1)(x - 2) \cdot (-1)(1 + x) = (x - 2)(x + 1)$.

Ответ: $(x - 2)(x + 1)$

д) $(y - 1)^2 - (y^2 - 1)$

Разложим выражение $y^2 - 1$ как разность квадратов: $y^2 - 1 = (y - 1)(y + 1)$.

Исходное выражение примет вид:

$(y - 1)^2 - (y - 1)(y + 1)$

Вынесем общий множитель $(y - 1)$ за скобки:

$(y - 1) \cdot ((y - 1) - (y + 1))$

Упростим выражение во второй скобке:

$(y - 1)(y - 1 - y - 1) = (y - 1)(-2)$

Запишем в стандартном виде:

$-2(y - 1)$

Ответ: $-2(y - 1)$

е) $(a^2 - 4) + (a - 2)^2$

Первое слагаемое $a^2 - 4$ является разностью квадратов. Разложим его на множители: $a^2 - 4 = (a - 2)(a + 2)$.

Подставим разложение в исходное выражение:

$(a - 2)(a + 2) + (a - 2)^2$

Общий множитель здесь — это $(a - 2)$. Вынесем его за скобки:

$(a - 2) \cdot ((a + 2) + (a - 2))$

Упростим выражение во второй скобке:

$(a - 2)(a + 2 + a - 2) = (a - 2)(2a)$

Запишем множители в стандартном порядке:

$2a(a - 2)$

Ответ: $2a(a - 2)$