Номер 7.55, страница 200 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

7.55 Докажите, что:

а) если из квадрата натурального числа вычесть квадрат предыдущего натурального числа, то получится сумма этих чисел;

$n^2 - (n-1)^2 = n + (n-1)$

б) если из квадрата чётного числа вычесть квадрат предыдущего чётного натурального числа, то получится удвоенная сумма этих чисел.

$(2n)^2 - (2n-2)^2 = 2(2n + (2n-2))$

Проиллюстрируйте доказанные утверждения конкретными примерами.

а) Обозначим произвольное натуральное число через $n$. Тогда предыдущее ему натуральное число равно $n-1$ (это справедливо для всех $n \ge 2$). Требуется доказать, что разность их квадратов равна их сумме. Запишем это утверждение в виде тождества: $n^2 - (n-1)^2 = n + (n-1)$.

Для доказательства преобразуем левую часть равенства, применив формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$n^2 - (n-1)^2 = (n - (n-1))(n + (n-1)) = (n - n + 1)(n + n - 1) = 1 \cdot (2n-1) = 2n-1$.

Теперь рассмотрим правую часть равенства, которая представляет собой сумму этих чисел:

$n + (n-1) = 2n-1$.

Поскольку левая и правая части равенства приводятся к одному и тому же выражению $2n-1$, тождество доказано.

Иллюстрация на примере:

Возьмём натуральное число $n=7$. Предыдущее число равно $6$.

Разность их квадратов: $7^2 - 6^2 = 49 - 36 = 13$.

Сумма этих чисел: $7 + 6 = 13$.

Результаты совпадают, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

б) Обозначим произвольное чётное натуральное число через $2k$, где $k$ — натуральное число. Тогда предыдущее ему чётное натуральное число равно $2k-2$ (это справедливо для всех $k \ge 2$). Требуется доказать, что разность их квадратов равна удвоенной их сумме. Запишем это утверждение в виде тождества:

$(2k)^2 - (2k-2)^2 = 2(2k + (2k-2))$.

Для доказательства преобразуем левую часть равенства, используя формулу разности квадратов:

$(2k)^2 - (2k-2)^2 = (2k - (2k-2))(2k + (2k-2)) = (2k - 2k + 2)(4k-2) = 2(4k-2) = 8k-4$.

Теперь преобразуем правую часть равенства, которая представляет собой удвоенную сумму этих чисел:

$2(2k + (2k-2)) = 2(4k-2) = 8k-4$.

Поскольку левая и правая части равенства приводятся к одному и тому же выражению $8k-4$, тождество доказано.

Иллюстрация на примере:

Возьмём чётное число $12$ (здесь $k=6$). Предыдущее чётное число равно $10$.

Разность их квадратов: $12^2 - 10^2 = 144 - 100 = 44$.

Удвоенная сумма этих чисел: $2(12 + 10) = 2 \cdot 22 = 44$.

Результаты совпадают, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.