Номер 7.59, страница 201 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Используйте формулу $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ для преобразования произведения в многочлен (7.59–7.60).

7.59

а) $(ax + ay)(x - y);$

б) $(x + y)(x^2 - xy);$

в) $(b - c)(2ac + 2ab);$

г) $(2 + x)(6y - 3xy).

а) Чтобы преобразовать произведение $(ax + ay)(x - y)$, сначала вынесем общий множитель $a$ из первого двучлена:
$(ax + ay)(x - y) = a(x + y)(x - y)$.
Теперь произведение $(x + y)(x - y)$ соответствует формуле разности квадратов $(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$, где $A=x$ и $B=y$. Применим эту формулу:
$a(x^2 - y^2)$.
Наконец, раскроем скобки, умножив $a$ на каждый член многочлена:
$a \cdot x^2 - a \cdot y^2 = ax^2 - ay^2$.
Ответ: $ax^2 - ay^2$.

б) В выражении $(x + y)(x^2 - xy)$ вынесем общий множитель $x$ из второго двучлена:
$(x + y)(x^2 - xy) = (x + y)x(x - y)$.
Переставим множители для наглядности:
$x(x + y)(x - y)$.
Применим формулу разности квадратов к выражению $(x+y)(x-y)$:
$x(x^2 - y^2)$.
Раскроем скобки, умножив $x$ на многочлен:
$x \cdot x^2 - x \cdot y^2 = x^3 - xy^2$.
Ответ: $x^3 - xy^2$.

в) В произведении $(b - c)(2ac + 2ab)$ вынесем общий множитель $2a$ из второго двучлена:
$(b - c)(2ac + 2ab) = (b - c)2a(c + b)$.
Переставим множители и слагаемые $(c+b = b+c)$:
$2a(b - c)(b + c)$.
Выражение $(b - c)(b + c)$ является разностью квадратов. Применим формулу:
$2a(b^2 - c^2)$.
Раскроем скобки:
$2a \cdot b^2 - 2a \cdot c^2 = 2ab^2 - 2ac^2$.
Ответ: $2ab^2 - 2ac^2$.

г) В выражении $(2 + x)(6y - 3xy)$ вынесем общий множитель $3y$ из второго двучлена:
$(2 + x)(6y - 3xy) = (2 + x)3y(2 - x)$.
Переставим множители:
$3y(2 + x)(2 - x)$.
Применим формулу разности квадратов к $(2+x)(2-x)$, где $A=2$ и $B=x$:
$3y(2^2 - x^2) = 3y(4 - x^2)$.
Раскроем скобки:
$3y \cdot 4 - 3y \cdot x^2 = 12y - 3x^2y$.
Ответ: $12y - 3x^2y$.