Номер 7.64, страница 202 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

7.64 а) $p^3 - q^3$;

В) $1 - x^3$;

Д) $b^3 - \frac{1}{125}$;

б) $a^3 - 8$;

Г) $-x^3 + y^3$;

е) $\frac{1}{27} - t^3$.

а) Чтобы разложить на множители выражение $p^3 - q^3$, воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
В данном случае $a = p$ и $b = q$.
Применяем формулу:
$p^3 - q^3 = (p - q)(p^2 + p \cdot q + q^2) = (p - q)(p^2 + pq + q^2)$.
Ответ: $(p - q)(p^2 + pq + q^2)$.

б) Чтобы разложить на множители выражение $a^3 - 8$, сначала представим число $8$ в виде куба: $8 = 2^3$.
Теперь выражение имеет вид $a^3 - 2^3$.
Это разность кубов, где $a = a$ и $b = 2$. Применяем формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
$a^3 - 2^3 = (a - 2)(a^2 + a \cdot 2 + 2^2) = (a - 2)(a^2 + 2a + 4)$.
Ответ: $(a - 2)(a^2 + 2a + 4)$.

в) Чтобы разложить на множители выражение $1 - x^3$, представим число $1$ в виде куба: $1 = 1^3$.
Выражение принимает вид $1^3 - x^3$.
Это разность кубов, где $a = 1$ и $b = x$. Применяем формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
$1^3 - x^3 = (1 - x)(1^2 + 1 \cdot x + x^2) = (1 - x)(1 + x + x^2)$.
Ответ: $(1 - x)(1 + x + x^2)$.

г) Исходное выражение: $-x^3 + y^3$.
Для удобства поменяем слагаемые местами: $y^3 - x^3$.
Это разность кубов, где $a = y$ и $b = x$. Применяем формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
$y^3 - x^3 = (y - x)(y^2 + y \cdot x + x^2) = (y - x)(y^2 + yx + x^2)$.
Ответ: $(y - x)(y^2 + yx + x^2)$.

д) Чтобы разложить на множители выражение $b^3 - \frac{1}{125}$, представим дробь $\frac{1}{125}$ в виде куба. Так как $125 = 5^3$, то $\frac{1}{125} = (\frac{1}{5})^3$.
Выражение принимает вид $b^3 - (\frac{1}{5})^3$.
Это разность кубов, где $a = b$ и $b = \frac{1}{5}$. Применяем формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
$b^3 - (\frac{1}{5})^3 = (b - \frac{1}{5})(b^2 + b \cdot \frac{1}{5} + (\frac{1}{5})^2) = (b - \frac{1}{5})(b^2 + \frac{1}{5}b + \frac{1}{25})$.
Ответ: $(b - \frac{1}{5})(b^2 + \frac{1}{5}b + \frac{1}{25})$.

е) Чтобы разложить на множители выражение $\frac{1}{27} - t^3$, представим дробь $\frac{1}{27}$ в виде куба. Так как $27 = 3^3$, то $\frac{1}{27} = (\frac{1}{3})^3$.
Выражение принимает вид $(\frac{1}{3})^3 - t^3$.
Это разность кубов, где $a = \frac{1}{3}$ и $b = t$. Применяем формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
$(\frac{1}{3})^3 - t^3 = (\frac{1}{3} - t)((\frac{1}{3})^2 + \frac{1}{3} \cdot t + t^2) = (\frac{1}{3} - t)(\frac{1}{9} + \frac{1}{3}t + t^2)$.
Ответ: $(\frac{1}{3} - t)(\frac{1}{9} + \frac{1}{3}t + t^2)$.