Номер 7.65, страница 202 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

7.65 Примените для разложения на множители, если это возможно, формулу суммы или разности кубов:

a) $8x^3 + y^3$;

б) $9a^3 + b^3$;

в) $1 - 27a^3$;

г) $8m^3 - 64n^3$;

д) $x^6 - \frac{1}{8}z^2$;

е) $\frac{1}{8}t^3 + 8s^3$.

Для решения задачи используются формулы суммы и разности кубов:

• Сумма кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$
• Разность кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$

а) $8x^3 + y^3$

Данное выражение является суммой кубов. Представим каждое слагаемое в виде куба: $8x^3 = (2x)^3$ и $y^3 = (y)^3$.

В формуле суммы кубов примем $a = 2x$ и $b = y$.

Применим формулу:

$8x^3 + y^3 = (2x)^3 + y^3 = (2x + y)((2x)^2 - (2x)(y) + y^2) = (2x + y)(4x^2 - 2xy + y^2)$.

Ответ: $(2x + y)(4x^2 - 2xy + y^2)$

б) $9a^3 + b^3$

Для применения формулы суммы кубов необходимо, чтобы оба слагаемых являлись кубами некоторых выражений. Слагаемое $b^3$ является кубом от $b$. Однако слагаемое $9a^3$ не является полным кубом, поскольку коэффициент 9 не является кубом рационального числа ($2^3=8$, $3^3=27$).

Таким образом, применить формулу суммы кубов для данного выражения невозможно.

Ответ: Разложить на множители с помощью формулы суммы кубов невозможно.

в) $1 - 27a^3$

Данное выражение является разностью кубов. Представим уменьшаемое и вычитаемое в виде кубов: $1 = 1^3$ и $27a^3 = (3a)^3$.

В формуле разности кубов примем $a = 1$ и $b = 3a$.

Применим формулу:

$1 - 27a^3 = 1^3 - (3a)^3 = (1 - 3a)(1^2 + (1)(3a) + (3a)^2) = (1 - 3a)(1 + 3a + 9a^2)$.

Ответ: $(1 - 3a)(1 + 3a + 9a^2)$

г) $8m^3 - 64n^3$

Сначала вынесем за скобки общий множитель 8:

$8m^3 - 64n^3 = 8(m^3 - 8n^3)$.

Теперь выражение в скобках $m^3 - 8n^3$ представляет собой разность кубов. Представим слагаемые в виде кубов: $m^3 = (m)^3$ и $8n^3 = (2n)^3$.

В формуле разности кубов для выражения в скобках примем $a = m$ и $b = 2n$.

$m^3 - 8n^3 = (m - 2n)(m^2 + m(2n) + (2n)^2) = (m - 2n)(m^2 + 2mn + 4n^2)$.

Вернем общий множитель 8 и получим окончательный результат:

$8(m - 2n)(m^2 + 2mn + 4n^2)$.

Ответ: $8(m - 2n)(m^2 + 2mn + 4n^2)$

д) $x^6 - \frac{1}{8}z^2$

Чтобы применить формулу разности кубов, оба члена выражения должны быть кубами. Первое слагаемое $x^6$ можно представить в виде куба: $x^6 = (x^2)^3$. Однако второе слагаемое $\frac{1}{8}z^2$ не является полным кубом, так как степень переменной $z$ равна 2, а 2 не делится нацело на 3.

Следовательно, разложить данное выражение на множители по формуле разности кубов невозможно.

Ответ: Разложить на множители с помощью формулы разности кубов невозможно.

е) $\frac{1}{8}t^3 + 8s^3$

Данное выражение является суммой кубов. Представим каждое слагаемое в виде куба: $\frac{1}{8}t^3 = (\frac{1}{2}t)^3$ и $8s^3 = (2s)^3$.

В формуле суммы кубов примем $a = \frac{1}{2}t$ и $b = 2s$.

Применим формулу:

$\frac{1}{8}t^3 + 8s^3 = (\frac{1}{2}t)^3 + (2s)^3 = (\frac{1}{2}t + 2s)((\frac{1}{2}t)^2 - (\frac{1}{2}t)(2s) + (2s)^2) = (\frac{1}{2}t + 2s)(\frac{1}{4}t^2 - ts + 4s^2)$.

Ответ: $(\frac{1}{2}t + 2s)(\frac{1}{4}t^2 - ts + 4s^2)$