Номер 7.71, страница 203 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 7.4. Формулы разности и суммы кубов. Глава 7. Разложение многочленов на множители - номер 7.71, страница 203.

Условие.

7.71 ДОКАЗЫВАЕМ Докажите, что:

а) $\frac{a^3 + b^3}{a+b} + ab = a^2 + b^2$;

б) $\frac{a^3 - b^3}{a-b} + ab = (a+b)^2$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а) Для доказательства тождества $\frac{a^3 + b^3}{a+b} + ab = a^2 + b^2$ преобразуем его левую часть.
Воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.
Подставим это выражение в левую часть исходного равенства:
$\frac{(a+b)(a^2 - ab + b^2)}{a+b} + ab$.
При условии, что $a+b \neq 0$, сократим дробь на $(a+b)$:
$(a^2 - ab + b^2) + ab$.
Теперь приведем подобные слагаемые:
$a^2 - ab + ab + b^2 = a^2 + b^2$.
Левая часть тождества оказалась равна правой части. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

б) Для доказательства тождества $\frac{a^3 - b^3}{a-b} + ab = (a+b)^2$ преобразуем его левую часть.
Воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$.
Подставим это выражение в левую часть равенства:
$\frac{(a-b)(a^2 + ab + b^2)}{a-b} + ab$.
При условии, что $a-b \neq 0$, сократим дробь на $(a-b)$:
$(a^2 + ab + b^2) + ab$.
Приведем подобные слагаемые:
$a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Полученное выражение является формулой квадрата суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$.
Левая часть тождества оказалась равна правой части. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.