Номер 7.74, страница 205 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Разложите на множители (7.74–7.77).

7.74 а) $3a^2 - 3b^2;$

б) $12m^2 - 12n^2;$

в) $ax^2 - ay^2;$

г) $2a^2x - 2b^2x;$

д) $5x^2 - 5;$

е) $2a^2 - 8;$

ж) $3an^2 - 27a;$

з) $2xy^2 - 50x;$

и) $x^3 - 9x;$

к) $3y^3 - 3y;$

л) $2a^3 - 8a;$

м) $40b - 10b^3.$

а) Чтобы разложить на множители выражение $3a^2 - 3b^2$, первым шагом вынесем за скобки общий множитель. Для одночленов $3a^2$ и $3b^2$ общим множителем является 3.
$3a^2 - 3b^2 = 3(a^2 - b^2)$
Теперь рассмотрим выражение в скобках: $a^2 - b^2$. Это разность квадратов. Применим формулу сокращенного умножения для разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.
В нашем случае $x=a$ и $y=b$, поэтому $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
Подставив это в наше выражение, получаем окончательный результат:
$3(a-b)(a+b)$
Ответ: $3(a - b)(a + b)$

б) В выражении $12m^2 - 12n^2$ вынесем общий множитель 12 за скобки:
$12m^2 - 12n^2 = 12(m^2 - n^2)$
Выражение в скобках $m^2 - n^2$ является разностью квадратов. Применяя формулу $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, получаем:
$12(m - n)(m + n)$
Ответ: $12(m - n)(m + n)$

в) В выражении $ax^2 - ay^2$ общим множителем является $a$. Вынесем его за скобки:
$ax^2 - ay^2 = a(x^2 - y^2)$
Применим формулу разности квадратов к выражению $x^2 - y^2$:
$a(x - y)(x + y)$
Ответ: $a(x - y)(x + y)$

г) В выражении $2a^2x - 2b^2x$ общим множителем является $2x$. Вынесем его за скобки:
$2a^2x - 2b^2x = 2x(a^2 - b^2)$
Применим формулу разности квадратов к выражению $a^2 - b^2$:
$2x(a - b)(a + b)$
Ответ: $2x(a - b)(a + b)$

д) В выражении $5x^2 - 5$ вынесем общий множитель 5 за скобки:
$5x^2 - 5 = 5(x^2 - 1)$
Заметим, что $1 = 1^2$, поэтому выражение в скобках является разностью квадратов $x^2 - 1^2$. Применим формулу:
$5(x - 1)(x + 1)$
Ответ: $5(x - 1)(x + 1)$

е) В выражении $2a^2 - 8$ вынесем общий множитель 2 за скобки:
$2a^2 - 8 = 2(a^2 - 4)$
Представим 4 как $2^2$. Выражение в скобках $a^2 - 2^2$ является разностью квадратов. Применим формулу:
$2(a - 2)(a + 2)$
Ответ: $2(a - 2)(a + 2)$

ж) В выражении $3an^2 - 27a$ общим множителем является $3a$. Вынесем его за скобки:
$3an^2 - 27a = 3a(n^2 - 9)$
Представим 9 как $3^2$. Выражение в скобках $n^2 - 3^2$ является разностью квадратов. Применим формулу:
$3a(n - 3)(n + 3)$
Ответ: $3a(n - 3)(n + 3)$

з) В выражении $2xy^2 - 50x$ общим множителем является $2x$. Вынесем его за скобки:
$2xy^2 - 50x = 2x(y^2 - 25)$
Представим 25 как $5^2$. Выражение в скобках $y^2 - 5^2$ является разностью квадратов. Применим формулу:
$2x(y - 5)(y + 5)$
Ответ: $2x(y - 5)(y + 5)$

и) В выражении $x^3 - 9x$ общим множителем является $x$. Вынесем его за скобки:
$x^3 - 9x = x(x^2 - 9)$
Представим 9 как $3^2$. Выражение в скобках $x^2 - 3^2$ является разностью квадратов. Применим формулу:
$x(x - 3)(x + 3)$
Ответ: $x(x - 3)(x + 3)$

к) В выражении $3y^3 - 3y$ общим множителем является $3y$. Вынесем его за скобки:
$3y^3 - 3y = 3y(y^2 - 1)$
Представим 1 как $1^2$. Выражение в скобках $y^2 - 1^2$ является разностью квадратов. Применим формулу:
$3y(y - 1)(y + 1)$
Ответ: $3y(y - 1)(y + 1)$

л) В выражении $2a^3 - 8a$ общим множителем является $2a$. Вынесем его за скобки:
$2a^3 - 8a = 2a(a^2 - 4)$
Представим 4 как $2^2$. Выражение в скобках $a^2 - 2^2$ является разностью квадратов. Применим формулу:
$2a(a - 2)(a + 2)$
Ответ: $2a(a - 2)(a + 2)$

м) В выражении $40b - 10b^3$ общим множителем является $10b$. Вынесем его за скобки:
$40b - 10b^3 = 10b(4 - b^2)$
Представим 4 как $2^2$. Выражение в скобках $2^2 - b^2$ является разностью квадратов. Применим формулу $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:
$10b(2 - b)(2 + b)$
Ответ: $10b(2 - b)(2 + b)$