Номер 7.81, страница 206 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

7.81 а) $a^3 + a^2 - a - 1;$

б) $b^2 - bc - a^2 + ac;$

В) $ab^2 + cd^2 - ad^2 - b^2c;$

Г) $x^2y^2 + 1 - y^2 - x^2.$

а)

Для разложения на множители многочлена $a^3 + a^2 - a - 1$ применим метод группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

$(a^3 + a^2) - (a + 1)$

Вынесем общий множитель из каждой группы. Из первой группы выносим $a^2$, из второй $-1$:

$a^2(a + 1) - 1(a + 1)$

Теперь вынесем общий множитель $(a + 1)$ за скобки:

$(a + 1)(a^2 - 1)$

Выражение в скобках $(a^2 - 1)$ является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:

$(a + 1)(a - 1)(a + 1)$

Сгруппировав одинаковые множители, получим окончательный вид:

$(a - 1)(a + 1)^2$

Ответ: $(a - 1)(a + 1)^2$

б)

Рассмотрим выражение $b^2 - bc - a^2 + ac$. Для разложения на множители используем метод группировки. Перегруппируем слагаемые, чтобы выделить общие множители. Сгруппируем первое слагаемое с третьим, а второе с четвертым:

$(b^2 - a^2) + (ac - bc)$

Первая группа $(b^2 - a^2)$ является разностью квадратов. Разложим ее. Во второй группе вынесем за скобки общий множитель $c$:

$(b - a)(b + a) + c(a - b)$

Заметим, что $(a - b) = -(b - a)$. Заменим $(a - b)$ в выражении:

$(b - a)(b + a) - c(b - a)$

Теперь мы можем вынести общий множитель $(b - a)$ за скобки:

$(b - a)(b + a - c)$

Ответ: $(b - a)(b + a - c)$

в)

Для разложения на множители выражения $ab^2 + cd^2 - ad^2 - b^2c$ применим метод группировки. Переставим слагаемые для удобства группировки. Сгруппируем слагаемые с $b^2$ и слагаемые с $d^2$:

$(ab^2 - b^2c) + (cd^2 - ad^2)$

Вынесем общие множители из каждой группы. Из первой группы вынесем $b^2$, из второй $d^2$:

$b^2(a - c) + d^2(c - a)$

Так как $(c - a) = -(a - c)$, преобразуем выражение:

$b^2(a - c) - d^2(a - c)$

Вынесем общий множитель $(a - c)$ за скобки:

$(a - c)(b^2 - d^2)$

Выражение $(b^2 - d^2)$ является разностью квадратов, разложим его на множители:

$(a - c)(b - d)(b + d)$

Ответ: $(a - c)(b - d)(b + d)$

г)

Рассмотрим выражение $x^2y^2 + 1 - y^2 - x^2$. Для разложения на множители перегруппируем слагаемые:

$(x^2y^2 - x^2) + (1 - y^2)$

Вынесем общие множители из каждой группы. Из первой группы вынесем $x^2$:

$x^2(y^2 - 1) + (1 - y^2)$

Заметим, что $(1 - y^2) = -(y^2 - 1)$, и преобразуем выражение:

$x^2(y^2 - 1) - 1(y^2 - 1)$

Вынесем общий множитель $(y^2 - 1)$ за скобки:

$(y^2 - 1)(x^2 - 1)$

Оба множителя в скобках являются разностями квадратов. Разложим каждый из них:

$(y - 1)(y + 1)(x - 1)(x + 1)$

Ответ: $(x - 1)(x + 1)(y - 1)(y + 1)$