Номер 7.84, страница 206 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

7.84 a) $x^2(x - 3) + 10x(x - 3) + 25(x - 3);$

б) $4c^2(c + 2) + 9(c + 2) - 12c(c + 2);$

в) $a^2 - 25 - 2a(a^2 - 25) + a^2(a^2 - 25);$

г) $6x(y^2 - 1) + 9x^2(y^2 - 1) - 1 + y^2.$

а) Данное выражение $x^2(x - 3) + 10x(x - 3) + 25(x - 3)$.
Вынесем общий множитель $(x - 3)$ за скобки:
$(x - 3)(x^2 + 10x + 25)$.
Выражение во второй скобке $x^2 + 10x + 25$ представляет собой полный квадрат суммы. Применим формулу квадрата суммы $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$.
В нашем случае $a = x$ и $b = 5$, так как $x^2 + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = x^2 + 10x + 25$.
Следовательно, $x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2$.
Окончательный вид выражения: $(x - 3)(x + 5)^2$.
Ответ: $(x - 3)(x + 5)^2$.

б) Данное выражение $4c^2(c + 2) + 9(c + 2) - 12c(c + 2)$.
Вынесем общий множитель $(c + 2)$ за скобки:
$(c + 2)(4c^2 + 9 - 12c)$.
Перегруппируем слагаемые во второй скобке: $(c + 2)(4c^2 - 12c + 9)$.
Выражение во второй скобке $4c^2 - 12c + 9$ является полным квадратом разности. Применим формулу квадрата разности $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.
В нашем случае $a = 2c$ и $b = 3$, так как $(2c)^2 - 2 \cdot (2c) \cdot 3 + 3^2 = 4c^2 - 12c + 9$.
Следовательно, $4c^2 - 12c + 9 = (2c - 3)^2$.
Окончательный вид выражения: $(c + 2)(2c - 3)^2$.
Ответ: $(c + 2)(2c - 3)^2$.

в) Данное выражение $a^2 - 25 - 2a(a^2 - 25) + a^2(a^2 - 25)$.
Вынесем общий множитель $(a^2 - 25)$ за скобки, представив первый член как $1 \cdot (a^2 - 25)$:
$(a^2 - 25)(1 - 2a + a^2)$.
Разложим на множители каждый из сомножителей в скобках.
Первый множитель $a^2 - 25$ — это разность квадратов. По формуле $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$ получаем:
$a^2 - 25 = (a - 5)(a + 5)$.
Второй множитель $1 - 2a + a^2$ или $a^2 - 2a + 1$ является полным квадратом разности. По формуле $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$ получаем:
$a^2 - 2a + 1 = (a - 1)^2$.
Объединив результаты, получаем окончательное разложение: $(a - 5)(a + 5)(a - 1)^2$.
Ответ: $(a - 5)(a + 5)(a - 1)^2$.

г) Данное выражение $6x(y^2 - 1) + 9x^2(y^2 - 1) - 1 + y^2$.
Сгруппируем последние два члена: $-1 + y^2 = y^2 - 1$. Выражение принимает вид:
$6x(y^2 - 1) + 9x^2(y^2 - 1) + 1 \cdot (y^2 - 1)$.
Вынесем общий множитель $(y^2 - 1)$ за скобки:
$(y^2 - 1)(6x + 9x^2 + 1)$.
Перегруппируем слагаемые во второй скобке: $(y^2 - 1)(9x^2 + 6x + 1)$.
Разложим на множители каждый из сомножителей в скобках.
Первый множитель $y^2 - 1$ — это разность квадратов. По формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ получаем:
$y^2 - 1 = (y - 1)(y + 1)$.
Второй множитель $9x^2 + 6x + 1$ является полным квадратом суммы. По формуле $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ получаем:
$9x^2 + 6x + 1 = (3x)^2 + 2 \cdot (3x) \cdot 1 + 1^2 = (3x + 1)^2$.
Объединив результаты, получаем окончательное разложение: $(y - 1)(y + 1)(3x + 1)^2$.
Ответ: $(y - 1)(y + 1)(3x + 1)^2$.