Номер 7.78, страница 206 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 7.5. Разложение на множители с применением нескольких способов. Глава 7. Разложение многочленов на множители - номер 7.78, страница 206.

Условие.

Разложите на множители (7.78–7.85).

7.78 a) $x^8 - y^8$;

б) $a^8 - b^4$;

в) $x^4 - x^8$;

г) $a^9 - 1$;

д) $x^6 - 2^6$;

е) $a^6 - 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а) Чтобы разложить на множители выражение $x^8 - y^8$, будем последовательно применять формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Представим $x^8$ как $(x^4)^2$ и $y^8$ как $(y^4)^2$:
$x^8 - y^8 = (x^4)^2 - (y^4)^2 = (x^4 - y^4)(x^4 + y^4)$.
Теперь разложим множитель $(x^4 - y^4)$, который также является разностью квадратов:
$x^4 - y^4 = (x^2)^2 - (y^2)^2 = (x^2 - y^2)(x^2 + y^2)$.
Продолжим с множителем $(x^2 - y^2)$:
$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
Собираем все вместе:
$x^8 - y^8 = (x - y)(x + y)(x^2 + y^2)(x^4 + y^4)$.
Множители $(x^2 + y^2)$ и $(x^4 + y^4)$ дальше не раскладываются на множители с действительными коэффициентами.

Ответ: $(x - y)(x + y)(x^2 + y^2)(x^4 + y^4)$.

б) Разложим на множители выражение $a^8 - b^4$, используя формулу разности квадратов.

Представим $a^8$ как $(a^4)^2$ и $b^4$ как $(b^2)^2$:
$a^8 - b^4 = (a^4)^2 - (b^2)^2 = (a^4 - b^2)(a^4 + b^2)$.
Множитель $(a^4 - b^2)$ также является разностью квадратов:
$a^4 - b^2 = (a^2)^2 - b^2 = (a^2 - b)(a^2 + b)$.
Подставляем обратно в исходное разложение:
$a^8 - b^4 = (a^2 - b)(a^2 + b)(a^4 + b^2)$.

Ответ: $(a^2 - b)(a^2 + b)(a^4 + b^2)$.

в) Чтобы разложить на множители выражение $x^4 - x^8$, сначала вынесем общий множитель за скобки.

Общий множитель здесь $x^4$:
$x^4 - x^8 = x^4(1 - x^4)$.
Выражение в скобках $1 - x^4$ является разностью квадратов:
$1 - x^4 = 1^2 - (x^2)^2 = (1 - x^2)(1 + x^2)$.
Множитель $(1 - x^2)$ также является разностью квадратов:
$1 - x^2 = (1 - x)(1 + x)$.
Собираем все вместе:
$x^4 - x^8 = x^4(1 - x)(1 + x)(1 + x^2)$.

Ответ: $x^4(1 - x)(1 + x)(1 + x^2)$.

г) Разложим на множители выражение $a^9 - 1$. Его можно представить как разность кубов.

Используем формулу разности кубов $u^3 - v^3 = (u - v)(u^2 + uv + v^2)$, где $u = a^3$ и $v = 1$:
$a^9 - 1 = (a^3)^3 - 1^3 = (a^3 - 1)((a^3)^2 + a^3 \cdot 1 + 1^2) = (a^3 - 1)(a^6 + a^3 + 1)$.
Теперь разложим множитель $(a^3 - 1)$, который также является разностью кубов:
$a^3 - 1 = (a - 1)(a^2 + a \cdot 1 + 1^2) = (a - 1)(a^2 + a + 1)$.
Многочлен $a^6 + a^3 + 1$ не раскладывается на более простые множители с целыми коэффициентами. Таким образом, окончательное разложение:
$a^9 - 1 = (a - 1)(a^2 + a + 1)(a^6 + a^3 + 1)$.

Ответ: $(a - 1)(a^2 + a + 1)(a^6 + a^3 + 1)$.

д) Разложим на множители выражение $x^6 - 2^6$. Это можно сделать двумя способами: как разность квадратов или как разность кубов. Проще начать с разности квадратов.

Представим выражение как разность квадратов $(x^3)^2 - (2^3)^2$:
$x^6 - 2^6 = (x^3)^2 - (2^3)^2 = (x^3 - 2^3)(x^3 + 2^3)$.
Теперь применяем формулу разности кубов для первого множителя и формулу суммы кубов для второго:
$x^3 - 2^3 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$.
$x^3 + 2^3 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)$.
Собираем все множители вместе:
$x^6 - 2^6 = (x - 2)(x + 2)(x^2 + 2x + 4)(x^2 - 2x + 4)$.

Ответ: $(x - 2)(x + 2)(x^2 + 2x + 4)(x^2 - 2x + 4)$.

е) Разложим на множители выражение $a^6 - 1$. Этот пример аналогичен предыдущему.

Представим выражение как разность квадратов $(a^3)^2 - 1^2$:
$a^6 - 1 = (a^3)^2 - 1^2 = (a^3 - 1)(a^3 + 1)$.
Применим формулу разности кубов к $(a^3 - 1)$ и формулу суммы кубов к $(a^3 + 1)$:
$a^3 - 1 = (a - 1)(a^2 + a + 1)$.
$a^3 + 1 = (a + 1)(a^2 - a + 1)$.
Объединяем все множители:
$a^6 - 1 = (a - 1)(a + 1)(a^2 + a + 1)(a^2 - a + 1)$.

Ответ: $(a - 1)(a + 1)(a^2 + a + 1)(a^2 - a + 1)$.