Номер 7.73, страница 203 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 7.4. Формулы разности и суммы кубов. Глава 7. Разложение многочленов на множители - номер 7.73, страница 203.

Условие.

7.73 Представьте выражение в виде многочлена:

а) $(a - b)(a + b)(a^4 + a^2b^2 + b^4);$

б) $(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)(x^8 + x^4 + 1);$

в) $(x - y)(x + y)(x^2 + xy + y^2)(x^2 - xy + y^2);$

г) $(a + b)^2(a^2 - ab + b^2)^2.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а) Для упрощения выражения $(a - b)(a + b)(a^4 + a^2b^2 + b^4)$ воспользуемся формулами сокращенного умножения.

Сначала применим формулу разности квадратов к первым двум множителям: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

Теперь выражение принимает вид: $(a^2 - b^2)(a^4 + a^2b^2 + b^4)$.

Это выражение соответствует формуле разности кубов: $(x - y)(x^2 + xy + y^2) = x^3 - y^3$, где $x = a^2$ и $y = b^2$.

Подставим наши значения в формулу: $(a^2)^3 - (b^2)^3 = a^6 - b^6$.

Ответ: $a^6 - b^6$

б) Рассмотрим выражение $(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)(x^8 + x^4 + 1)$ и будем последовательно применять формулы.

Умножим первые два множителя по формуле разности квадратов: $(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1$.

Выражение станет: $(x^2 - 1)(x^2 + 1)(x^8 + x^4 + 1)$.

Снова применим формулу разности квадратов: $(x^2 - 1)(x^2 + 1) = (x^2)^2 - 1^2 = x^4 - 1$.

Теперь у нас есть: $(x^4 - 1)(x^8 + x^4 + 1)$.

Это формула разности кубов $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$, где $a = x^4$ и $b = 1$.

Применяя формулу, получаем: $(x^4)^3 - 1^3 = x^{12} - 1$.

Ответ: $x^{12} - 1$

в) В выражении $(x - y)(x + y)(x^2 + xy + y^2)(x^2 - xy + y^2)$ сгруппируем множители для применения формул суммы и разности кубов.

Сгруппируем первый и третий множители: $(x - y)(x^2 + xy + y^2)$. Это формула разности кубов, которая равна $x^3 - y^3$.

Сгруппируем второй и четвертый множители: $(x + y)(x^2 - xy + y^2)$. Это формула суммы кубов, которая равна $x^3 + y^3$.

Теперь исходное выражение равно произведению полученных результатов: $(x^3 - y^3)(x^3 + y^3)$.

Это формула разности квадратов, где в качестве переменных выступают $x^3$ и $y^3$.

$(x^3)^2 - (y^3)^2 = x^6 - y^6$.

Ответ: $x^6 - y^6$

г) Рассмотрим выражение $(a + b)^2(a^2 - ab + b^2)^2$.

Воспользуемся свойством степени $(xy)^n = x^n y^n$ и запишем выражение в виде: $[(a + b)(a^2 - ab + b^2)]^2$.

Выражение в квадратных скобках, $(a + b)(a^2 - ab + b^2)$, является формулой суммы кубов, которая равна $a^3 + b^3$.

Таким образом, исходное выражение упрощается до $(a^3 + b^3)^2$.

Теперь раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$(a^3)^2 + 2(a^3)(b^3) + (b^3)^2 = a^6 + 2a^3b^3 + b^6$.

Ответ: $a^6 + 2a^3b^3 + b^6$