Номер 1, страница 205 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Назовите известные вам приёмы разложения многочленов на множители. Прочитайте рекомендации, которых целесообразно придерживаться при разложении многочлена на множители. Пользуясь этими рекомендациями, разложите на множители многочлен $4a^2c - b^2c$.

Назовите известные вам приёмы разложения многочленов на множители.

Разложение многочлена на множители — это тождественное преобразование, в результате которого многочлен представляется в виде произведения нескольких множителей (многочленов или одночленов). Существуют следующие основные приёмы:

1. Вынесение общего множителя за скобки. Это основной и наиболее часто применяемый приём. Если все члены многочлена имеют общий множитель, его выносят за скобки на основании распределительного закона умножения. Например, $15x^3 - 25x^2 = 5x^2(3x - 5)$.

2. Метод группировки. Этот метод используется, когда у всех членов многочлена нет общего множителя. Члены многочлена объединяют в группы так, чтобы в каждой группе можно было вынести общий множитель, а затем вынести общий для всех групп множитель за скобки. Например, $xy - 6 + 3x - 2y = (xy + 3x) + (-2y - 6) = x(y+3) - 2(y+3) = (y+3)(x-2)$.

3. Применение формул сокращённого умножения. Этот приём заключается в распознавании в многочлене одной из известных формул и применении её в обратном порядке:

- Разность квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$

- Квадрат суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$

- Квадрат разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$

- Сумма кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$

- Разность кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$

4. Разложение квадратного трёхчлена. Если многочлен является квадратным трёхчленом вида $ax^2 + bx + c$, его можно разложить на множители по формуле $a(x-x_1)(x-x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

5. Комбинация различных приёмов. Часто для полного разложения многочлена на множители требуется последовательно применить несколько из перечисленных выше методов.

Ответ: Основные приёмы разложения многочленов на множители: вынесение общего множителя за скобки, метод группировки, применение формул сокращённого умножения, разложение квадратного трёхчлена и комбинация этих методов.

Пользуясь этими рекомендациями, разложите на множители многочлен $4a^2c - b^2c$.

Для разложения многочлена $4a^2c - b^2c$ на множители будем следовать рекомендациям, комбинируя различные приёмы.

1. Вынесение общего множителя за скобки.

Первым шагом всегда следует проверять, есть ли у всех членов многочлена общий множитель. В данном многочлене оба члена, $4a^2c$ и $-b^2c$, содержат общий множитель $c$. Вынесем его за скобки:

$4a^2c - b^2c = c(4a^2 - b^2)$

2. Применение формул сокращённого умножения.

Теперь рассмотрим выражение, оставшееся в скобках: $4a^2 - b^2$. Это выражение является разностью двух слагаемых. Проверим, не является ли оно разностью квадратов.

Первое слагаемое $4a^2$ можно представить как квадрат выражения $2a$, то есть $4a^2 = (2a)^2$.

Второе слагаемое $b^2$ является квадратом выражения $b$, то есть $b^2 = (b)^2$.

Таким образом, выражение в скобках является разностью квадратов $(2a)^2 - (b)^2$. Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, где в нашем случае $x=2a$ и $y=b$:

$4a^2 - b^2 = (2a - b)(2a + b)$

3. Окончательная запись.

Подставим полученное разложение обратно в выражение из первого шага:

$c(4a^2 - b^2) = c(2a - b)(2a + b)$

Полученные множители $c$, $(2a - b)$ и $(2a + b)$ являются простыми, то есть их нельзя разложить на более простые множители. Следовательно, разложение завершено.

Ответ: $c(2a - b)(2a + b)$