Номер 7.75, страница 206 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

7.75 a) $3a^2 - 6a + 3;$

б) $ay^2 - 2ay + a;$

в) $8x^2 + 16xy + 8y^2;$

г) $-2a^2 - 4ab - 2b^2;$

д) $nx^2 + 4nx + 4n;$

е) $4x^2y - 4xy + y.$

а) $3a^2 - 6a + 3$

Для разложения данного многочлена на множители первым шагом вынесем общий числовой множитель 3 за скобки:

$3a^2 - 6a + 3 = 3(a^2 - 2a + 1)$

Теперь рассмотрим выражение в скобках: $a^2 - 2a + 1$. Это выражение является полным квадратом разности и соответствует формуле сокращенного умножения $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

В нашем случае $x = a$ и $y = 1$. Проверим: $x^2 = a^2$, $2xy = 2 \cdot a \cdot 1 = 2a$, $y^2 = 1^2 = 1$.

Таким образом, $a^2 - 2a + 1 = (a - 1)^2$.

Подставив это в наше выражение, получаем окончательный результат:

$3(a - 1)^2$

Ответ: $3(a-1)^2$

б) $ay^2 - 2ay + a$

Вынесем общий множитель $a$ за скобки:

$ay^2 - 2ay + a = a(y^2 - 2y + 1)$

Выражение в скобках $y^2 - 2y + 1$ является полным квадратом разности, так как соответствует формуле $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Здесь $x = y$ и $y = 1$. Проверим: $x^2 = y^2$, $2xy = 2 \cdot y \cdot 1 = 2y$, $y^2 = 1^2 = 1$.

Следовательно, $y^2 - 2y + 1 = (y - 1)^2$.

Окончательное разложение на множители:

$a(y - 1)^2$

Ответ: $a(y-1)^2$

в) $8x^2 + 16xy + 8y^2$

Вынесем общий числовой множитель 8 за скобки:

$8x^2 + 16xy + 8y^2 = 8(x^2 + 2xy + y^2)$

Выражение в скобках $x^2 + 2xy + y^2$ является полным квадратом суммы и соответствует формуле $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В данном случае $a = x$ и $b = y$.

Таким образом, $x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2$.

В результате получаем:

$8(x + y)^2$

Ответ: $8(x+y)^2$

г) $-2a^2 - 4ab - 2b^2$

Вынесем общий множитель -2 за скобки, чтобы в скобках все коэффициенты стали положительными:

$-2a^2 - 4ab - 2b^2 = -2(a^2 + 2ab + b^2)$

Выражение в скобках $a^2 + 2ab + b^2$ является полным квадратом суммы, так как соответствует формуле $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Здесь $x = a$ и $y = b$.

Значит, $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$.

Окончательное разложение:

$-2(a + b)^2$

Ответ: $-2(a+b)^2$

д) $nx^2 + 4nx + 4n$

Вынесем общий множитель $n$ за скобки:

$nx^2 + 4nx + 4n = n(x^2 + 4x + 4)$

Рассмотрим выражение в скобках $x^2 + 4x + 4$. Это полный квадрат суммы по формуле $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В нашем случае $a = x$ и $b = 2$. Проверим: $a^2 = x^2$, $2ab = 2 \cdot x \cdot 2 = 4x$, $b^2 = 2^2 = 4$.

Таким образом, $x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$.

Подставив это в наше выражение, получаем:

$n(x + 2)^2$

Ответ: $n(x+2)^2$

е) $4x^2y - 4xy + y$

Вынесем общий множитель $y$ за скобки:

$4x^2y - 4xy + y = y(4x^2 - 4x + 1)$

Выражение в скобках $4x^2 - 4x + 1$ является полным квадратом разности по формуле $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Здесь $a = 2x$ и $b = 1$. Проверим: $a^2 = (2x)^2 = 4x^2$, $2ab = 2 \cdot (2x) \cdot 1 = 4x$, $b^2 = 1^2 = 1$.

Следовательно, $4x^2 - 4x + 1 = (2x - 1)^2$.

В результате получаем:

$y(2x - 1)^2$

Ответ: $y(2x-1)^2$