Номер 7.77, страница 206 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

7.77 а) $a^4 - b^4$;

б) $x^4 - x^2$;

В) $n^4 - 16$;

Г) $a^4 - 9a^2$;

Д) $1 - c^4$;

е) $x^2 - 16x^4$.

а) Чтобы разложить на множители выражение $a^4 - b^4$, представим его как разность квадратов.
$a^4 = (a^2)^2$ и $b^4 = (b^2)^2$.
Следовательно, $a^4 - b^4 = (a^2)^2 - (b^2)^2$.
Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, где $x = a^2$ и $y = b^2$:
$(a^2)^2 - (b^2)^2 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2)$.
Выражение $a^2 - b^2$ также является разностью квадратов, поэтому его можно разложить дальше:
$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Выражение $a^2 + b^2$ (сумма квадратов) не раскладывается на множители в действительных числах.
Таким образом, итоговое разложение:
$a^4 - b^4 = (a - b)(a + b)(a^2 + b^2)$.
Ответ: $(a - b)(a + b)(a^2 + b^2)$.

б) В выражении $x^4 - x^2$ вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:
$x^4 - x^2 = x^2(x^2 - 1)$.
Выражение в скобках $x^2 - 1$ является разностью квадратов, так как $1 = 1^2$.
Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = x$ и $b = 1$:
$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$.
Подставим это разложение в исходное выражение:
$x^2(x^2 - 1) = x^2(x - 1)(x + 1)$.
Ответ: $x^2(x - 1)(x + 1)$.

в) Чтобы разложить на множители выражение $n^4 - 16$, представим его как разность квадратов.
$n^4 = (n^2)^2$ и $16 = 4^2$.
Следовательно, $n^4 - 16 = (n^2)^2 - 4^2$.
Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, где $x = n^2$ и $y = 4$:
$(n^2)^2 - 4^2 = (n^2 - 4)(n^2 + 4)$.
Выражение $n^2 - 4$ также является разностью квадратов, так как $4 = 2^2$. Разложим его:
$n^2 - 4 = (n - 2)(n + 2)$.
Выражение $n^2 + 4$ (сумма квадратов) не раскладывается на множители в действительных числах.
Таким образом, итоговое разложение:
$n^4 - 16 = (n - 2)(n + 2)(n^2 + 4)$.
Ответ: $(n - 2)(n + 2)(n^2 + 4)$.

г) В выражении $a^4 - 9a^2$ вынесем общий множитель $a^2$ за скобки:
$a^4 - 9a^2 = a^2(a^2 - 9)$.
Выражение в скобках $a^2 - 9$ является разностью квадратов, так как $9 = 3^2$.
Применим формулу $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, где $x = a$ и $y = 3$:
$a^2 - 9 = (a - 3)(a + 3)$.
Подставим это разложение в исходное выражение:
$a^2(a^2 - 9) = a^2(a - 3)(a + 3)$.
Ответ: $a^2(a - 3)(a + 3)$.

д) Чтобы разложить на множители выражение $1 - c^4$, представим его как разность квадратов.
$1 = 1^2$ и $c^4 = (c^2)^2$.
Следовательно, $1 - c^4 = 1^2 - (c^2)^2$.
Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, где $x = 1$ и $y = c^2$:
$1^2 - (c^2)^2 = (1 - c^2)(1 + c^2)$.
Выражение $1 - c^2$ также является разностью квадратов. Разложим его:
$1 - c^2 = (1 - c)(1 + c)$.
Выражение $1 + c^2$ (сумма квадратов) не раскладывается на множители в действительных числах.
Таким образом, итоговое разложение:
$1 - c^4 = (1 - c)(1 + c)(1 + c^2)$.
Ответ: $(1 - c)(1 + c)(1 + c^2)$.

е) В выражении $x^2 - 16x^4$ вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:
$x^2 - 16x^4 = x^2(1 - 16x^2)$.
Выражение в скобках $1 - 16x^2$ является разностью квадратов, так как $1 = 1^2$ и $16x^2 = (4x)^2$.
Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 1$ и $b = 4x$:
$1 - 16x^2 = (1 - 4x)(1 + 4x)$.
Подставим это разложение в исходное выражение:
$x^2(1 - 16x^2) = x^2(1 - 4x)(1 + 4x)$.
Ответ: $x^2(1 - 4x)(1 + 4x)$.