Номер 7.83, страница 206 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

7.83 a) $ax + ay - x^2 - 2xy - y^2$;

б) $a^2 - 2ab + b^2 - a + b$;

в) $a^2 - b^2 - c^2 + 2bc$;

г) $9a^4 + 6a^2c + c^2 - 9$;

д) $ma^2 - m^3 - 2m^2 - m$;

е) $4x^5 + 4x^3y + xy^2 - 4x$.

а) Для разложения на множители выражения $ax + ay - x^2 - 2xy - y^2$ применим метод группировки. Сгруппируем первые два слагаемых и последние три: $(ax + ay) + (-x^2 - 2xy - y^2)$.
Вынесем общий множитель $a$ из первой скобки и $-1$ из второй: $a(x + y) - (x^2 + 2xy + y^2)$.
Выражение во второй скобке является формулой полного квадрата суммы: $(x+y)^2$.
Подставим его в наше выражение: $a(x + y) - (x + y)^2$.
Теперь вынесем общий множитель $(x+y)$ за скобки: $(x + y)(a - (x + y))$.
Раскроем внутренние скобки и получим окончательный вид: $(x + y)(a - x - y)$.
Ответ: $(x + y)(a - x - y)$

б) В выражении $a^2 - 2ab + b^2 - a + b$ сгруппируем первые три слагаемых. Они образуют формулу квадрата разности: $(a-b)^2$.
Выражение принимает вид: $(a-b)^2 - a + b$.
Сгруппируем последние два слагаемых, вынеся за скобку $-1$: $(a-b)^2 - (a - b)$.
Теперь можно вынести за скобку общий множитель $(a-b)$: $(a-b)((a-b) - 1)$.
Упростим выражение во второй скобке.
Ответ: $(a - b)(a - b - 1)$

в) В выражении $a^2 - b^2 - c^2 + 2bc$ сгруппируем последние три слагаемых, вынеся за скобки знак минус: $a^2 - (b^2 - 2bc + c^2)$.
Выражение в скобках является полным квадратом разности: $(b-c)^2$.
Таким образом, мы получаем выражение вида: $a^2 - (b - c)^2$.
Это формула разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$, где $A=a$ и $B=(b-c)$.
Применим эту формулу: $(a - (b - c))(a + (b - c))$.
Раскрыв внутренние скобки, получаем результат.
Ответ: $(a - b + c)(a + b - c)$

г) Рассмотрим выражение $9a^4 + 6a^2c + c^2 - 9$. Первые три члена представляют собой полный квадрат суммы, так как $9a^4 = (3a^2)^2$, $c^2 = (c)^2$ и $6a^2c = 2 \cdot (3a^2) \cdot c$.
Сгруппируем их: $(9a^4 + 6a^2c + c^2) - 9 = (3a^2 + c)^2 - 9$.
Теперь перед нами разность квадратов, так как $9 = 3^2$. Получаем: $(3a^2 + c)^2 - 3^2$.
Применим формулу разности квадратов: $((3a^2 + c) - 3)((3a^2 + c) + 3)$.
Ответ: $(3a^2 + c - 3)(3a^2 + c + 3)$

д) В выражении $ma^2 - m^3 - 2m^2 - m$ первым делом вынесем общий множитель $m$ за скобки: $m(a^2 - m^2 - 2m - 1)$.
Теперь сгруппируем члены внутри скобок, вынеся минус у последних трех: $m(a^2 - (m^2 + 2m + 1))$.
Выражение $m^2 + 2m + 1$ является полным квадратом суммы $(m+1)^2$.
Получаем: $m(a^2 - (m + 1)^2)$.
В скобках образовалась разность квадратов. Применим формулу $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$, где $A=a$ и $B=(m+1)$: $m(a - (m+1))(a + (m+1))$.
Раскроем внутренние скобки.
Ответ: $m(a - m - 1)(a + m + 1)$

е) В выражении $4x^5 + 4x^3y + xy^2 - 4x$ вынесем за скобки общий множитель $x$: $x(4x^4 + 4x^2y + y^2 - 4)$.
Первые три слагаемых в скобках, $4x^4 + 4x^2y + y^2$, образуют полный квадрат суммы, так как $4x^4 = (2x^2)^2$, $y^2 = (y)^2$ и $4x^2y = 2 \cdot (2x^2) \cdot y$.
Выражение в скобках принимает вид: $((2x^2 + y)^2 - 4)$.
Это разность квадратов, так как $4 = 2^2$: $((2x^2 + y)^2 - 2^2)$.
Применяем формулу разности квадратов: $x((2x^2 + y - 2)(2x^2 + y + 2))$.
Ответ: $x(2x^2 + y - 2)(2x^2 + y + 2)$