Номер 7.85, страница 206 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Глава 7. Разложение многочленов на множители. 7.5. Разложение на множители с применением нескольких способов. Упражнения - номер 7.85, страница 206.

Условие.

7.85 a) $(a - x)(x^2 - y^2) - (x - y)(a^2 - x^2);$

б) $(a - x)(x^3 - y^3) - (x - y)(a^3 - x^3).$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а) $(a - x)(x^2 - y^2) - (x - y)(a^2 - x^2)$

Для решения данной задачи воспользуемся формулой разности квадратов: $m^2 - n^2 = (m - n)(m + n)$.

Разложим на множители выражения в скобках:

$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$

$a^2 - x^2 = (a - x)(a + x)$

Подставим полученные разложения в исходное выражение:

$(a - x)(x - y)(x + y) - (x - y)(a - x)(a + x)$

Как видим, оба слагаемых имеют общий множитель $(a - x)(x - y)$. Вынесем его за скобки:

$(a - x)(x - y) \cdot ((x + y) - (a + x))$

Теперь упростим выражение во вторых скобках, раскрыв их:

$(x + y) - (a + x) = x + y - a - x = y - a$

В результате получаем произведение трех множителей:

$(a - x)(x - y)(y - a)$

Ответ: $(a - x)(x - y)(y - a)$

б) $(a - x)(x^3 - y^3) - (x - y)(a^3 - x^3)$

Для решения этой задачи воспользуемся формулой разности кубов: $m^3 - n^3 = (m - n)(m^2 + mn + n^2)$.

Разложим на множители выражения в скобках:

$x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$

$a^3 - x^3 = (a - x)(a^2 + ax + x^2)$

Подставим полученные разложения в исходное выражение:

$(a - x)(x - y)(x^2 + xy + y^2) - (x - y)(a - x)(a^2 + ax + x^2)$

Вынесем общий множитель $(a - x)(x - y)$ за скобки:

$(a - x)(x - y) \cdot ((x^2 + xy + y^2) - (a^2 + ax + x^2))$

Упростим выражение в больших скобках, раскрыв их и приведя подобные слагаемые:

$(x^2 + xy + y^2) - (a^2 + ax + x^2) = x^2 + xy + y^2 - a^2 - ax - x^2 = y^2 - a^2 + xy - ax$

Сгруппируем слагаемые в полученном выражении и разложим его на множители методом группировки:

$(y^2 - a^2) + (xy - ax) = (y - a)(y + a) + x(y - a)$

Вынесем общий множитель $(y - a)$ за скобки:

$(y - a)(y + a + x)$

Теперь соберем все множители вместе:

$(a - x)(x - y)(y - a)(a + x + y)$

Ответ: $(a - x)(x - y)(y - a)(a + x + y)$