Номер 7.86, страница 206 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Глава 7. Разложение многочленов на множители. 7.5. Разложение на множители с применением нескольких способов. Упражнения - номер 7.86, страница 206.

Условие.

7.86 РАЗБИРАЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ

Трёхчлен $x^2 - 6x + 8$ можно разложить на множители, выделив квадрат двучлена:

$x^2 - 6x + 8 = x^2 - 6x + 8 + 1 - 1 = (x^2 - 6x + 9) - 1 = (x - 3)^2 - 1 = (x - 3 - 1)(x - 3 + 1) = (x - 4)(x - 2).$

Разложите на множители трёхчлен:

а) $a^2 + 4a - 5$;

б) $x^2 - 2x - 24$;

в) $a^2 + 8a + 15$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а) Чтобы разложить на множители трёхчлен $a^2 + 4a - 5$, применим метод выделения полного квадрата. Для этого нам нужно преобразовать выражение $a^2 + 4a$ в полный квадрат. Формула квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. В нашем случае $x=a$, а $2xy = 4a$, откуда $2ay = 4a$, значит $y=2$. Чтобы получить полный квадрат, нам не хватает слагаемого $y^2 = 2^2 = 4$. Добавим и вычтем это число:
$a^2 + 4a - 5 = a^2 + 4a + 4 - 4 - 5$
Теперь сгруппируем первые три слагаемых, чтобы свернуть их по формуле квадрата суммы, и вычислим остаток:
$(a^2 + 4a + 4) - 9 = (a + 2)^2 - 9$
Полученное выражение является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$. В нашем случае $x = a+2$ и $y = 3$:
$(a + 2)^2 - 3^2 = (a + 2 - 3)(a + 2 + 3) = (a - 1)(a + 5)$
Ответ: $(a - 1)(a + 5)$.

б) Разложим на множители трёхчлен $x^2 - 2x - 24$, выделив полный квадрат. Для выражения $x^2 - 2x$ воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Здесь $a=x$, а $2ab = 2x$, значит $b=1$. Нам не хватает слагаемого $b^2 = 1^2 = 1$. Добавим и вычтем 1:
$x^2 - 2x - 24 = x^2 - 2x + 1 - 1 - 24$
Сгруппируем и свернём полный квадрат:
$(x^2 - 2x + 1) - 25 = (x - 1)^2 - 25$
Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = x-1$ и $b = 5$:
$(x - 1)^2 - 5^2 = (x - 1 - 5)(x - 1 + 5) = (x - 6)(x + 4)$
Ответ: $(x - 6)(x + 4)$.

в) Разложим на множители трёхчлен $a^2 + 8a + 15$ методом выделения полного квадрата. Для выражения $a^2 + 8a$ используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. Здесь $x=a$, а $2xy = 8a$, значит $y=4$. Для полного квадрата не хватает слагаемого $y^2 = 4^2 = 16$. Добавим и вычтем 16:
$a^2 + 8a + 15 = a^2 + 8a + 16 - 16 + 15$
Сгруппируем слагаемые и свернём полный квадрат:
$(a^2 + 8a + 16) - 1 = (a + 4)^2 - 1$
Используем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, где $x = a+4$ и $y = 1$:
$(a + 4)^2 - 1^2 = (a + 4 - 1)(a + 4 + 1) = (a + 3)(a + 5)$
Ответ: $(a + 3)(a + 5)$.