Номер 7.82, страница 206 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

7.82 a) $a^3 + b^3 - a^2b - ab^2;$

Б) $xy^2 + x^2y - x^3 - y^3;$

В) $n^4 + an^3 - n - a;$

Г) $a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3.$

а) $a^3 + b^3 - a^2b - ab^2$

Для разложения на множители сгруппируем слагаемые. Удобнее всего сгруппировать первое слагаемое с третьим, а второе с четвертым:

$(a^3 - a^2b) + (b^3 - ab^2)$

Вынесем общий множитель из каждой скобки. Из первой скобки вынесем $a^2$, а из второй $-b^2$, чтобы получить в скобках одинаковое выражение $(a - b)$:

$a^2(a - b) - b^2(a - b)$

Теперь вынесем общий множитель $(a-b)$ за скобки:

$(a - b)(a^2 - b^2)$

Выражение во второй скобке является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$(a - b)(a - b)(a + b) = (a - b)^2(a + b)$

Ответ: $(a - b)^2(a + b)$.

б) $xy^2 + x^2y - x^3 - y^3$

Сгруппируем слагаемые. Сгруппируем первое слагаемое с четвертым, а второе с третьим:

$(xy^2 - y^3) + (x^2y - x^3)$

Вынесем общий множитель из каждой группы. Из первой группы вынесем $y^2$, из второй $-x^2$:

$y^2(x - y) - x^2(x - y)$

Вынесем общий множитель $(x - y)$ за скобки:

$(x - y)(y^2 - x^2)$

Выражение во второй скобке является разностью квадратов: $y^2 - x^2 = (y - x)(y + x)$.

$(x - y)(y - x)(y + x)$

Заметим, что $(y - x) = -(x - y)$, поэтому можем переписать выражение:

$(x - y)(-(x - y))(x + y) = -(x - y)^2(x + y)$

Ответ: $-(x - y)^2(x + y)$.

в) $n^4 + an^3 - n - a$

Сгруппируем слагаемые: первое со вторым и третье с четвертым:

$(n^4 + an^3) + (-n - a)$

Вынесем общие множители из каждой скобки. Из первой вынесем $n^3$, из второй $-1$:

$n^3(n + a) - 1(n + a)$

Вынесем общий множитель $(n+a)$ за скобки:

$(n + a)(n^3 - 1)$

Выражение во второй скобке является разностью кубов, которую можно разложить по формуле $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$:

$(n + a)(n - 1)(n^2 + n \cdot 1 + 1^2) = (n + a)(n - 1)(n^2 + n + 1)$

Ответ: $(n + a)(n - 1)(n^2 + n + 1)$.

г) $a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

Данное выражение представляет собой известную формулу сокращенного умножения, а именно куб разности.

Формула куба разности имеет вид: $(x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$.

Применяя эту формулу для нашего случая, где $x=a$ и $y=b$, получаем:

$a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 = (a - b)^3$

Ответ: $(a - b)^3$.