Номер 7.88, страница 207 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

7.88 ДОКАЗЫВАЕМ

Докажите, что разность между кубом любого натурального числа и этим числом делится на 6.

ДОКАЗЫВАЕМ

Пусть $n$ — любое натуральное число ($n \in \mathbb{N}$). Нам необходимо доказать, что разность $n^3 - n$ делится на 6 нацело.

Преобразуем данное выражение. Сначала вынесем общий множитель $n$ за скобки: $n^3 - n = n(n^2 - 1)$

Выражение в скобках, $n^2 - 1$, является разностью квадратов. Разложим его на множители по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$: $n(n^2 - 1) = n(n-1)(n+1)$

Для удобства расположим множители в порядке возрастания: $n^3 - n = (n-1)n(n+1)$

Полученное выражение представляет собой произведение трех последовательных целых чисел. Чтобы доказать, что это произведение делится на 6, достаточно доказать, что оно делится на 2 и на 3, так как числа 2 и 3 взаимно простые, и их произведение равно $2 \cdot 3 = 6$.

1. Делимость на 2. Среди любых двух последовательных чисел одно обязательно является четным. В нашем произведении $(n-1)n(n+1)$ есть как минимум одна пара последовательных чисел (например, $n-1$ и $n$), а значит, среди трех множителей всегда найдется хотя бы одно четное число. Следовательно, всё произведение делится на 2.

2. Делимость на 3. Среди любых трех последовательных чисел одно и только одно число делится на 3. Так как $(n-1)$, $n$ и $(n+1)$ являются тремя последовательными числами, одно из них обязательно кратно 3. Следовательно, их произведение также делится на 3.

Поскольку выражение $(n-1)n(n+1)$ делится и на 2, и на 3, оно гарантированно делится на их произведение, то есть на 6.

Таким образом, разность между кубом любого натурального числа и самим этим числом всегда делится на 6.

Ответ: Утверждение доказано.