Номер 7.89, страница 207 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 7.5. Разложение на множители с применением нескольких способов. Глава 7. Разложение многочленов на множители - номер 7.89, страница 207.

Условие.

7.89 ИССЛЕДУЕМ

1) Докажите, что:

а) $\frac{x^{16} - y^{16}}{x - y} = (x + y)(x^2 + y^2)(x^4 + y^4)(x^8 + y^8);$

б) $\frac{x^{64} - y^{64}}{x - y} = (x + y)(x^2 + y^2) \dots (x^{32} + y^{32}).$

2) Что вы заметили? Можно ли сократить дробь $\frac{x^8 - y^8}{x - y}$? $\frac{x^{10} - y^{10}}{x - y}$?

3) Сократите дробь $\frac{x^{210} - y^{210}}{x - y}.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а)

Для доказательства тождества преобразуем его правую часть. Домножим и разделим правую часть на выражение $(x-y)$, а затем последовательно применим формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x+y)(x^2+y^2)(x^4+y^4)(x^8+y^8) = \frac{(x-y)(x+y)(x^2+y^2)(x^4+y^4)(x^8+y^8)}{x-y}$

Начнем сворачивать произведение в числителе:

$(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$

$(x^2 - y^2)(x^2+y^2) = (x^2)^2 - (y^2)^2 = x^4 - y^4$

$(x^4 - y^4)(x^4+y^4) = (x^4)^2 - (y^4)^2 = x^8 - y^8$

$(x^8 - y^8)(x^8+y^8) = (x^8)^2 - (y^8)^2 = x^{16} - y^{16}$

Подставив результат в исходное выражение, получим:

$\frac{x^{16} - y^{16}}{x-y}$

Правая часть тождества равна левой, что и требовалось доказать.

б)

Доказательство аналогично предыдущему пункту. Разложим числитель $x^{64}-y^{64}$ на множители, многократно используя формулу разности квадратов:

$x^{64}-y^{64} = (x^{32}-y^{32})(x^{32}+y^{32})$

$= (x^{16}-y^{16})(x^{16}+y^{16})(x^{32}+y^{32})$

$= (x^{8}-y^{8})(x^{8}+y^{8})(x^{16}+y^{16})(x^{32}+y^{32})$

$= (x^{4}-y^{4})(x^{4}+y^{4})(x^{8}+y^{8})(x^{16}+y^{16})(x^{32}+y^{32})$

$= (x^{2}-y^{2})(x^{2}+y^{2})(x^{4}+y^{4})(x^{8}+y^{8})(x^{16}+y^{16})(x^{32}+y^{32})$

$= (x-y)(x+y)(x^{2}+y^{2})(x^{4}+y^{4})(x^{8}+y^{8})(x^{16}+y^{16})(x^{32}+y^{32})$

Теперь разделим полученное выражение на $(x-y)$:

$\frac{x^{64}-y^{64}}{x-y} = \frac{(x-y)(x+y)(x^{2}+y^{2})...(x^{32}+y^{32})}{x-y} = (x+y)(x^{2}+y^{2})...(x^{32}+y^{32})$

Тождество доказано.

2) Что вы заметили? Можно ли сократить дробь $\frac{x^8 - y^8}{x-y}$? $\frac{x^{10} - y^{10}}{x-y}$?

Можно заметить общую закономерность: дробь вида $\frac{x^{2^n} - y^{2^n}}{x-y}$ можно сократить, и результатом будет произведение скобок вида $(x^{2^k}+y^{2^k})$:

$\frac{x^{2^n} - y^{2^n}}{x-y} = (x+y)(x^2+y^2)(x^4+y^4)...(x^{2^{n-1}}+y^{2^{n-1}})$

Эта закономерность работает, когда показатель степени является степенью двойки.

Дробь $\frac{x^8 - y^8}{x-y}$ можно сократить, так как показатель $8$ является степенью двойки ($8 = 2^3$). Применяя замеченную закономерность для $n=3$, получаем:

$\frac{x^8 - y^8}{x-y} = (x+y)(x^2+y^2)(x^4+y^4)$

Дробь $\frac{x^{10} - y^{10}}{x-y}$ также можно сократить, но другим способом, так как $10$ не является степенью двойки. Для этого используется общая формула разности степеней $a^k - b^k = (a-b)(a^{k-1} + a^{k-2}b + ... + b^{k-1})$.

$\frac{x^{10} - y^{10}}{x-y} = x^9 + x^8y + x^7y^2 + x^6y^3 + x^5y^4 + x^4y^5 + x^3y^6 + x^2y^7 + xy^8 + y^9$

Таким образом, обе дроби сократимы, но только в случае, когда степень является степенью двойки, результат разложения представляет собой изящное произведение скобок с суммами.

Ответ: Да, обе дроби можно сократить. Закономерность из пункта 1 применима только для дроби $\frac{x^8 - y^8}{x-y}$, так как 8 — это степень двойки. Дробь $\frac{x^{10} - y^{10}}{x-y}$ тоже сократима, но по общей формуле.

3) Сократите дробь $\frac{x^{2^{10}} - y^{2^{10}}}{x-y}$

Используя закономерность, выведенную в предыдущих пунктах, для $n=10$. Показатель степени в числителе — $2^{10}$.

$\frac{x^{2^{10}} - y^{2^{10}}}{x-y} = (x^{2^0}+y^{2^0})(x^{2^1}+y^{2^1})(x^{2^2}+y^{2^2})...(x^{2^{10-1}}+y^{2^{10-1}})$

Последний множитель в произведении будет иметь степень $2^{10-1} = 2^9 = 512$. Распишем произведение полностью:

Ответ: $(x+y)(x^2+y^2)(x^4+y^4)(x^8+y^8)(x^{16}+y^{16})(x^{32}+y^{32})(x^{64}+y^{64})(x^{128}+y^{128})(x^{256}+y^{256})(x^{512}+y^{512})$