Номер 7.87, страница 207 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Глава 7. Разложение многочленов на множители. 7.5. Разложение на множители с применением нескольких способов. Упражнения - номер 7.87, страница 207.

Условие.

7.87 Разложите выражение на множители двумя способами:

1) применив формулу разности квадратов;

2) раскрыв скобки и затем применив группировку:

а) $(1 + ab)^2 - (a + b)^2$;

б) $(a + 2x)^2 - (2 + ax)^2$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а) $(1 + ab)^2 - (a + b)^2$

1) Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
В данном выражении $x = 1 + ab$ и $y = a + b$.

$(1 + ab)^2 - (a + b)^2 = ((1 + ab) - (a + b))((1 + ab) + (a + b)) = (1 + ab - a - b)(1 + ab + a + b)$.

Теперь разложим на множители выражения в каждой из скобок методом группировки:

Для первой скобки: $1 + ab - a - b = (1 - a) + (ab - b) = (1 - a) - b(1 - a) = (1 - a)(1 - b)$.

Для второй скобки: $1 + ab + a + b = (1 + a) + (ab + b) = (1 + a) + b(a + 1) = (1 + a)(1 + b)$.

В результате получаем: $(1 - a)(1 - b)(1 + a)(1 + b)$.
Сгруппировав множители, можно записать выражение как $((1 - a)(1 + a))((1 - b)(1 + b)) = (1 - a^2)(1 - b^2)$.

Ответ: $(1 - a^2)(1 - b^2)$.

2) Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$, и затем применим группировку.

$(1 + ab)^2 - (a + b)^2 = (1 + 2ab + a^2b^2) - (a^2 + 2ab + b^2)$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$1 + 2ab + a^2b^2 - a^2 - 2ab - b^2 = 1 - a^2 - b^2 + a^2b^2$.

Сгруппируем слагаемые: $(1 - a^2) - (b^2 - a^2b^2) = (1 - a^2) - b^2(1 - a^2)$.

Вынесем общий множитель $(1 - a^2)$ за скобки:

$(1 - a^2)(1 - b^2)$.

Ответ: $(1 - a^2)(1 - b^2)$.

---

б) $(a + 2x)^2 - (2 + ax)^2$

1) Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
В данном выражении $x = a + 2x$ и $y = 2 + ax$.

$(a + 2x)^2 - (2 + ax)^2 = ((a + 2x) - (2 + ax))((a + 2x) + (2 + ax)) = (a + 2x - 2 - ax)(a + 2x + 2 + ax)$.

Теперь разложим на множители выражения в каждой из скобок методом группировки:

Для первой скобки: $a + 2x - 2 - ax = (a - ax) + (2x - 2) = a(1 - x) - 2(1 - x) = (a - 2)(1 - x)$.

Для второй скобки: $a + 2x + 2 + ax = (a + ax) + (2x + 2) = a(1 + x) + 2(1 + x) = (a + 2)(1 + x)$.

В результате получаем: $(a - 2)(1 - x)(a + 2)(1 + x)$.
Сгруппировав множители, можно записать выражение как $((a - 2)(a + 2))((1 - x)(1 + x)) = (a^2 - 4)(1 - x^2)$.

Ответ: $(a^2 - 4)(1 - x^2)$.

2) Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы, и затем применим группировку.

$(a + 2x)^2 - (2 + ax)^2 = (a^2 + 4ax + 4x^2) - (4 + 4ax + a^2x^2)$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$a^2 + 4ax + 4x^2 - 4 - 4ax - a^2x^2 = a^2 + 4x^2 - 4 - a^2x^2$.

Сгруппируем слагаемые: $(a^2 - 4) + (4x^2 - a^2x^2) = (a^2 - 4) + x^2(4 - a^2) = (a^2 - 4) - x^2(a^2 - 4)$.

Вынесем общий множитель $(a^2 - 4)$ за скобки:

$(a^2 - 4)(1 - x^2)$.

Ответ: $(a^2 - 4)(1 - x^2)$.