Номер 7.93, страница 208 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

7.93 a) $x^2 - 4 = 0;$

Б) $4x^2 - 25 = 0;$

В) $1 - z^2 = 0;$

Г) $3z^2 - 75 = 0.$

а) $x^2 - 4 = 0$

Это неполное квадратное уравнение вида $ax^2 + c = 0$. Для его решения перенесем свободный член (число без переменной) в правую часть уравнения:

$x^2 = 4$

Теперь, чтобы найти $x$, необходимо извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения. Важно помнить, что у положительного числа существует два квадратных корня: положительный и отрицательный.

$x = \pm\sqrt{4}$

Следовательно, уравнение имеет два корня:

$x_1 = 2$ и $x_2 = -2$

Также это уравнение можно решить, разложив левую часть на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$x^2 - 2^2 = 0$

$(x - 2)(x + 2) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$x - 2 = 0$ или $x + 2 = 0$

$x_1 = 2$, $x_2 = -2$

Ответ: $-2; 2$.

б) $4x^2 - 25 = 0$

Это также неполное квадратное уравнение. Перенесем свободный член в правую часть:

$4x^2 = 25$

Разделим обе части уравнения на коэффициент при $x^2$, то есть на 4:

$x^2 = \frac{25}{4}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$x = \pm\sqrt{\frac{25}{4}}$

$x = \pm\frac{5}{2}$

Корни уравнения:

$x_1 = 2.5$ и $x_2 = -2.5$

Альтернативное решение с использованием формулы разности квадратов:

$(2x)^2 - 5^2 = 0$

$(2x - 5)(2x + 5) = 0$

$2x - 5 = 0$ или $2x + 5 = 0$

$2x = 5$ или $2x = -5$

$x_1 = \frac{5}{2} = 2.5$, $x_2 = -\frac{5}{2} = -2.5$

Ответ: $-2.5; 2.5$.

в) $1 - z^2 = 0$

Перенесем член с переменной в правую часть, чтобы он стал положительным:

$1 = z^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$z = \pm\sqrt{1}$

Корни уравнения:

$z_1 = 1$ и $z_2 = -1$

Решение с помощью разности квадратов:

$1^2 - z^2 = 0$

$(1 - z)(1 + z) = 0$

$1 - z = 0$ или $1 + z = 0$

$z_1 = 1$, $z_2 = -1$

Ответ: $-1; 1$.

г) $3z^2 - 75 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть:

$3z^2 = 75$

Разделим обе части уравнения на коэффициент при $z^2$, то есть на 3:

$z^2 = \frac{75}{3}$

$z^2 = 25$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$z = \pm\sqrt{25}$

Корни уравнения:

$z_1 = 5$ и $z_2 = -5$

Другой способ — вынесение общего множителя за скобки:

$3(z^2 - 25) = 0$

Разделим обе части уравнения на 3:

$z^2 - 25 = 0$

Теперь применим формулу разности квадратов:

$(z - 5)(z + 5) = 0$

$z - 5 = 0$ или $z + 5 = 0$

$z_1 = 5$, $z_2 = -5$

Ответ: $-5; 5$.