Номер 7.97, страница 209 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Найдите корни уравнения (7.97–7.98).

7.97 a) $(x^{2} + 3)(x - 7) = 0;$

б) $(3y - 1)(y^{2} + 1) = 0;$

в) $(z - 1)^{2}(z + 4) = 0;$

г) $(3t + 12)(t + 2)^{2} = 0.$

а) $(x^2 + 3)(x - 7) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю, а другой при этом существует. Рассмотрим каждый множитель отдельно.

1) $x^2 + 3 = 0$. Перенесем 3 в правую часть: $x^2 = -3$. Так как квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной ($x^2 \ge 0$), данное уравнение не имеет действительных корней. Другими словами, множитель $x^2 + 3$ всегда больше нуля ($x^2 + 3 \ge 3$).

2) $x - 7 = 0$. Перенесем 7 в правую часть: $x = 7$.

Поскольку первый множитель никогда не равен нулю, корень уравнения определяется только вторым множителем.

Ответ: $7$.

б) $(3y - 1)(y^2 + 1) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.

1) $3y - 1 = 0$. Перенесем 1 в правую часть и разделим на 3: $3y = 1$, откуда $y = \frac{1}{3}$.

2) $y^2 + 1 = 0$. Перенесем 1 в правую часть: $y^2 = -1$. Данное уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Множитель $y^2 + 1$ всегда больше нуля ($y^2 + 1 \ge 1$).

Следовательно, у исходного уравнения есть только один корень.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

в) $(z - 1)^2(z + 4) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.

1) $(z - 1)^2 = 0$. Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем $z - 1 = 0$. Отсюда $z = 1$.

2) $z + 4 = 0$. Перенесем 4 в правую часть: $z = -4$.

Уравнение имеет два различных корня.

Ответ: $1; -4$.

г) $(3t + 12)(t + 2)^2 = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.

1) $3t + 12 = 0$. Перенесем 12 в правую часть: $3t = -12$. Разделим обе части на 3: $t = \frac{-12}{3}$, откуда $t = -4$.

2) $(t + 2)^2 = 0$. Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем $t + 2 = 0$. Отсюда $t = -2$.

Уравнение имеет два различных корня.

Ответ: $-4; -2$.