Номер 7.103, страница 211 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

7.7. Несколько более сложных примеров (Узнайте больше). Глава 7. Разложение многочленов на множители - номер 7.103, страница 211.

Условие.

7.103 a) $a^3 - 5a^2 + 9a - 5;$

б) $x^4 + 4x^2y^2 - 5y^4.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а)

Чтобы разложить на множители многочлен $a^3 - 5a^2 + 9a - 5$, применим метод группировки слагаемых. Для этого представим некоторые члены многочлена в виде суммы или разности.

Представим слагаемое $-5a^2$ как $-a^2 - 4a^2$, а слагаемое $9a$ как $4a + 5a$.

$a^3 - 5a^2 + 9a - 5 = a^3 - a^2 - 4a^2 + 4a + 5a - 5$

Теперь сгруппируем полученные слагаемые попарно:

$(a^3 - a^2) + (-4a^2 + 4a) + (5a - 5)$

Вынесем общий множитель за скобки в каждой из групп:

$a^2(a - 1) - 4a(a - 1) + 5(a - 1)$

Мы получили общий для всех слагаемых множитель $(a - 1)$. Вынесем его за скобки:

$(a - 1)(a^2 - 4a + 5)$

Далее проверим, можно ли разложить на множители квадратный трехчлен $a^2 - 4a + 5$. Для этого найдем его дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), квадратный трехчлен не имеет действительных корней и не раскладывается на множители с действительными коэффициентами. Следовательно, полученное выражение является окончательным.

Ответ: $(a - 1)(a^2 - 4a + 5)$

б)

Для разложения на множители выражения $x^4 + 4x^2y^2 - 5y^4$ можно рассматривать его как квадратный трехчлен относительно $x^2$.

Представим средний член $4x^2y^2$ в виде разности $5x^2y^2 - x^2y^2$:

$x^4 + 5x^2y^2 - x^2y^2 - 5y^4$

Теперь сгруппируем слагаемые:

$(x^4 + 5x^2y^2) - (x^2y^2 + 5y^4)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(x^2 + 5y^2) - y^2(x^2 + 5y^2)$

Мы видим общий множитель $(x^2 + 5y^2)$, который можно вынести за скобки:

$(x^2 - y^2)(x^2 + 5y^2)$

Первый множитель $(x^2 - y^2)$ представляет собой разность квадратов. Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$

Второй множитель $(x^2 + 5y^2)$ является суммой квадратов (с положительным коэффициентом) и не раскладывается на множители с действительными коэффициентами.

Подставляем разложенный множитель в исходное выражение и получаем окончательный результат:

$(x - y)(x + y)(x^2 + 5y^2)$

Ответ: $(x - y)(x + y)(x^2 + 5y^2)$