Номер 1, страница 211 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Глава 7. Разложение многочленов на множители. Чему вы научились. Это надо знать - номер 1, страница 211.

Условие.

1 Какие способы разложения многочленов на множители вы знаете?

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Существует несколько основных способов разложения многочленов на множители, которые часто применяются как по отдельности, так и в комбинации.

1. Вынесение общего множителя за скобки

Это самый простой способ, основанный на распределительном законе умножения. Если все члены многочлена имеют общий множитель (число, переменную или их произведение), его можно вынести за скобки. Для этого находят наибольший общий делитель (НОД) для всех коэффициентов и переменную с наименьшей степенью, которая входит в каждый член многочлена.

Пример: Разложить на множители многочлен $15a^3b^2 + 25a^2b^3$.

Общий множитель для коэффициентов 15 и 25 — это 5. Общий множитель для переменных — $a^2b^2$ (выбираем наименьшие степени). Таким образом, общий множитель всего многочлена — $5a^2b^2$. Выносим его за скобки: $15a^3b^2 + 25a^2b^3 = 5a^2b^2(3a + 5b)$.

Ответ: $5a^2b^2(3a + 5b)$.

2. Способ группировки

Этот метод применяется, когда у всех членов многочлена нет общего множителя, но их можно сгруппировать так, что у каждой группы появится свой общий множитель. После вынесения общих множителей из каждой группы должен появиться новый общий множитель (обычно в виде скобки), который затем снова выносится за скобки.

Пример: Разложить на множители многочлен $xy - 6 + 3x - 2y$.

Сгруппируем члены: $(xy + 3x) + (-2y - 6)$. Из первой группы вынесем $x$, а из второй — $-2$. Получим: $x(y + 3) - 2(y + 3)$. Теперь общим множителем является скобка $(y + 3)$. Выносим ее: $(y + 3)(x - 2)$.

Ответ: $(y + 3)(x - 2)$.

3. Использование формул сокращенного умножения

Этот способ заключается в распознавании в многочлене одной из известных формул сокращенного умножения и применении ее в обратном порядке.

Основные формулы:

• Разность квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$
• Квадрат суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$
• Квадрат разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$
• Сумма кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
• Разность кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

Пример: Разложить на множители $49x^2 - 16y^2$.

Этот многочлен можно представить как разность квадратов: $(7x)^2 - (4y)^2$. Применяя формулу, получаем: $(7x - 4y)(7x + 4y)$.

Ответ: $(7x - 4y)(7x + 4y)$.

4. Разложение квадратного трехчлена на множители

Квадратный трехчлен вида $ax^2 + bx + c$ можно разложить на множители, если найти его корни $x_1$ и $x_2$ (решив уравнение $ax^2 + bx + c = 0$). Разложение производится по формуле: $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$.

Пример: Разложить на множители $3x^2 - 8x + 4$.

Сначала найдем корни уравнения $3x^2 - 8x + 4 = 0$. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 64 - 48 = 16$. Корни: $x_1 = \frac{8 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ и $x_2 = \frac{8 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$.

Подставляем в формулу: $3(x - \frac{2}{3})(x - 2)$. Можно внести множитель 3 в первую скобку, чтобы избавиться от дроби: $(3x - 2)(x - 2)$.

Ответ: $(3x - 2)(x - 2)$.

5. Метод выделения полного квадрата

Этот метод заключается в преобразовании многочлена путем добавления и вычитания некоторого слагаемого так, чтобы выделить полный квадрат, а затем, как правило, применить формулу разности квадратов.

Пример: Разложить на множители $x^4 + 4$.

Чтобы получить полный квадрат, нам не хватает слагаемого $4x^2$. Добавим и вычтем его: $x^4 + 4x^2 + 4 - 4x^2$. Первые три члена образуют полный квадрат: $(x^2 + 2)^2$. Выражение принимает вид $(x^2 + 2)^2 - 4x^2$, что можно записать как $(x^2 + 2)^2 - (2x)^2$. Теперь это разность квадратов: $((x^2 + 2) - 2x)((x^2 + 2) + 2x)$.

Ответ: $(x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2)$.

6. Комбинирование различных способов

На практике часто требуется последовательное применение нескольких методов. Обычно начинают с вынесения общего множителя, а затем анализируют оставшееся в скобках выражение, чтобы применить другие способы.

Пример: Разложить на множители $5x^3 - 5x$.

1. Выносим общий множитель $5x$: $5x(x^2 - 1)$.

2. Выражение в скобках $x^2 - 1$ является разностью квадратов. Применяем соответствующую формулу: $x^2 - 1^2 = (x - 1)(x + 1)$.

В результате получаем полное разложение.

Ответ: $5x(x - 1)(x + 1)$.