Номер 1, страница 211 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Алгебра, 7 класс Учебник, авторы: Дорофеев Георгий Владимирович, Суворова Светлана Борисовна, Бунимович Евгений Абрамович, Кузнецова Людмила Викторовна, Минаева Светлана Станиславовна, Рослова Лариса Олеговна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета

Авторы: Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А., Кузнецова Л. В., Минаева С. С., Рослова Л. О.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2023 - 2025

Уровень обучения: базовый

Цвет обложки: белый, голубой, оранжевый с галочкой

ISBN: 978-5-09-106179-6

Популярные ГДЗ в 7 классе

Это надо знать. Чему вы научились. Глава 7. Разложение многочленов на множители - номер 1, страница 211.

№1 (с. 211)
Условие. №1 (с. 211)
скриншот условия
Алгебра, 7 класс Учебник, авторы: Дорофеев Георгий Владимирович, Суворова Светлана Борисовна, Бунимович Евгений Абрамович, Кузнецова Людмила Викторовна, Минаева Светлана Станиславовна, Рослова Лариса Олеговна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 211, номер 1, Условие

1 Какие способы разложения многочленов на множители вы знаете?

Решение 3. №1 (с. 211)
Алгебра, 7 класс Учебник, авторы: Дорофеев Георгий Владимирович, Суворова Светлана Борисовна, Бунимович Евгений Абрамович, Кузнецова Людмила Викторовна, Минаева Светлана Станиславовна, Рослова Лариса Олеговна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 211, номер 1, Решение 3
Решение 5. №1 (с. 211)
Алгебра, 7 класс Учебник, авторы: Дорофеев Георгий Владимирович, Суворова Светлана Борисовна, Бунимович Евгений Абрамович, Кузнецова Людмила Викторовна, Минаева Светлана Станиславовна, Рослова Лариса Олеговна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 211, номер 1, Решение 5
Решение 6. №1 (с. 211)

Существует несколько основных способов разложения многочленов на множители, которые часто применяются как по отдельности, так и в комбинации.

1. Вынесение общего множителя за скобки

Это самый простой способ, основанный на распределительном законе умножения. Если все члены многочлена имеют общий множитель (число, переменную или их произведение), его можно вынести за скобки. Для этого находят наибольший общий делитель (НОД) для всех коэффициентов и переменную с наименьшей степенью, которая входит в каждый член многочлена.

Пример: Разложить на множители многочлен $15a^3b^2 + 25a^2b^3$.

Общий множитель для коэффициентов 15 и 25 — это 5. Общий множитель для переменных — $a^2b^2$ (выбираем наименьшие степени). Таким образом, общий множитель всего многочлена — $5a^2b^2$. Выносим его за скобки: $15a^3b^2 + 25a^2b^3 = 5a^2b^2(3a + 5b)$.

Ответ: $5a^2b^2(3a + 5b)$.

2. Способ группировки

Этот метод применяется, когда у всех членов многочлена нет общего множителя, но их можно сгруппировать так, что у каждой группы появится свой общий множитель. После вынесения общих множителей из каждой группы должен появиться новый общий множитель (обычно в виде скобки), который затем снова выносится за скобки.

Пример: Разложить на множители многочлен $xy - 6 + 3x - 2y$.

Сгруппируем члены: $(xy + 3x) + (-2y - 6)$. Из первой группы вынесем $x$, а из второй — $-2$. Получим: $x(y + 3) - 2(y + 3)$. Теперь общим множителем является скобка $(y + 3)$. Выносим ее: $(y + 3)(x - 2)$.

Ответ: $(y + 3)(x - 2)$.

3. Использование формул сокращенного умножения

Этот способ заключается в распознавании в многочлене одной из известных формул сокращенного умножения и применении ее в обратном порядке.

Основные формулы:

  • Разность квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$
  • Квадрат суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$
  • Квадрат разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$
  • Сумма кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
  • Разность кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

Пример: Разложить на множители $49x^2 - 16y^2$.

Этот многочлен можно представить как разность квадратов: $(7x)^2 - (4y)^2$. Применяя формулу, получаем: $(7x - 4y)(7x + 4y)$.

Ответ: $(7x - 4y)(7x + 4y)$.

4. Разложение квадратного трехчлена на множители

Квадратный трехчлен вида $ax^2 + bx + c$ можно разложить на множители, если найти его корни $x_1$ и $x_2$ (решив уравнение $ax^2 + bx + c = 0$). Разложение производится по формуле: $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$.

Пример: Разложить на множители $3x^2 - 8x + 4$.

Сначала найдем корни уравнения $3x^2 - 8x + 4 = 0$. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 64 - 48 = 16$. Корни: $x_1 = \frac{8 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ и $x_2 = \frac{8 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$.

Подставляем в формулу: $3(x - \frac{2}{3})(x - 2)$. Можно внести множитель 3 в первую скобку, чтобы избавиться от дроби: $(3x - 2)(x - 2)$.

Ответ: $(3x - 2)(x - 2)$.

5. Метод выделения полного квадрата

Этот метод заключается в преобразовании многочлена путем добавления и вычитания некоторого слагаемого так, чтобы выделить полный квадрат, а затем, как правило, применить формулу разности квадратов.

Пример: Разложить на множители $x^4 + 4$.

Чтобы получить полный квадрат, нам не хватает слагаемого $4x^2$. Добавим и вычтем его: $x^4 + 4x^2 + 4 - 4x^2$. Первые три члена образуют полный квадрат: $(x^2 + 2)^2$. Выражение принимает вид $(x^2 + 2)^2 - 4x^2$, что можно записать как $(x^2 + 2)^2 - (2x)^2$. Теперь это разность квадратов: $((x^2 + 2) - 2x)((x^2 + 2) + 2x)$.

Ответ: $(x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2)$.

6. Комбинирование различных способов

На практике часто требуется последовательное применение нескольких методов. Обычно начинают с вынесения общего множителя, а затем анализируют оставшееся в скобках выражение, чтобы применить другие способы.

Пример: Разложить на множители $5x^3 - 5x$.

1. Выносим общий множитель $5x$: $5x(x^2 - 1)$.

2. Выражение в скобках $x^2 - 1$ является разностью квадратов. Применяем соответствующую формулу: $x^2 - 1^2 = (x - 1)(x + 1)$.

В результате получаем полное разложение.

Ответ: $5x(x - 1)(x + 1)$.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 7 класс, для упражнения номер 1 расположенного на странице 211 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №1 (с. 211), авторов: Дорофеев (Георгий Владимирович), Суворова (Светлана Борисовна), Бунимович (Евгений Абрамович), Кузнецова (Людмила Викторовна), Минаева (Светлана Станиславовна), Рослова (Лариса Олеговна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.