Номер 6, страница 212 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6 Запишите формулу суммы кубов и докажите её. Покажите на примере выражения $1 + \frac{1}{8}a^3$, как применить эту формулу для разложения его на множители.

Запишите формулу суммы кубов

Формула суммы кубов двух выражений $a$ и $b$ выглядит следующим образом:

$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

Словесно эта формула читается так: сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.

Ответ: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

Докажите её

Для доказательства формулы достаточно раскрыть скобки в её правой части и убедиться, что полученное выражение равно левой части. Выполним преобразование правой части тождества:

$(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a \cdot (a^2 - ab + b^2) + b \cdot (a^2 - ab + b^2)$

Раскроем скобки, умножая каждый член первого многочлена на второй:

$= a \cdot a^2 - a \cdot ab + a \cdot b^2 + b \cdot a^2 - b \cdot ab + b \cdot b^2$

$= a^3 - a^2b + ab^2 + a^2b - ab^2 + b^3$

Теперь приведем подобные слагаемые. Члены $-a^2b$ и $+a^2b$ взаимно уничтожаются, так же как и члены $+ab^2$ и $-ab^2$:

$= a^3 + (-a^2b + a^2b) + (ab^2 - ab^2) + b^3 = a^3 + 0 + 0 + b^3 = a^3 + b^3$

В результате мы получили выражение $a^3 + b^3$, которое в точности совпадает с левой частью формулы. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Доказательство проведено путем раскрытия скобок в правой части формулы: $(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 - a^2b + ab^2 + a^2b - ab^2 + b^3 = a^3 + b^3$.

Покажите на примере выражения $1 + \frac{1}{8}a^3$, как применить эту формулу для разложения его на множители

Дано выражение $1 + \frac{1}{8}a^3$. Чтобы применить формулу суммы кубов, необходимо представить каждое слагаемое в виде куба некоторого выражения.

1. Представим первое слагаемое, число $1$, в виде куба: $1 = 1^3$.

2. Представим второе слагаемое, $\frac{1}{8}a^3$, в виде куба: $\frac{1}{8}a^3 = (\frac{1}{2})^3 \cdot a^3 = (\frac{1}{2}a)^3$.

Теперь исходное выражение можно записать в виде суммы кубов:

$1 + \frac{1}{8}a^3 = 1^3 + (\frac{1}{2}a)^3$

3. Применим формулу $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$, где в нашем случае $x = 1$ и $y = \frac{1}{2}a$.

Подставим эти значения в правую часть формулы:

$(1 + \frac{1}{2}a)(1^2 - 1 \cdot \frac{1}{2}a + (\frac{1}{2}a)^2)$

4. Упростим выражение во второй скобке:

$(1 + \frac{1}{2}a)(1 - \frac{1}{2}a + \frac{1}{4}a^2)$

Таким образом, мы разложили исходное выражение на два множителя, применив формулу суммы кубов.

Ответ: $1 + \frac{1}{8}a^3 = (1 + \frac{1}{2}a)(1 - \frac{1}{2}a + \frac{1}{4}a^2)$.