Номер 7.106, страница 211 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

7.7. Несколько более сложных примеров (Узнайте больше). Глава 7. Разложение многочленов на множители - номер 7.106, страница 211.

Условие.

7.106 Докажите разными способами, что:

а) $a^5 - b^5 = (a - b)(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4);$

б) $a^5 + b^5 = (a + b)(a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4).$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а) Доказать тождество: $a^5 - b^5 = (a - b)(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4)$

Приведем несколько способов доказательства данного тождества.

Способ 1: Раскрытие скобок (умножение многочленов)

Этот способ заключается в том, чтобы преобразовать правую часть равенства и показать, что она равна левой. Раскроем скобки, умножив многочлен $(a - b)$ на многочлен $(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4)$.

$(a - b)(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4) = a \cdot (a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4) - b \cdot (a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4)$

$= (a^5 + a^4b + a^3b^2 + a^2b^3 + ab^4) - (a^4b + a^3b^2 + a^2b^3 + ab^4 + b^5)$

Теперь раскроем вторые скобки и приведем подобные слагаемые:

$= a^5 + a^4b + a^3b^2 + a^2b^3 + ab^4 - a^4b - a^3b^2 - a^2b^3 - ab^4 - b^5$

Все промежуточные члены взаимно уничтожаются:

$= a^5 + (a^4b - a^4b) + (a^3b^2 - a^3b^2) + (a^2b^3 - a^2b^3) + (ab^4 - ab^4) - b^5 = a^5 - b^5$

В результате мы получили левую часть исходного равенства, что и доказывает тождество.

Способ 2: Использование формулы суммы геометрической прогрессии

Рассмотрим выражение во второй скобке в правой части: $S = a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4$. Это сумма пяти членов геометрической прогрессии, у которой первый член $u_1 = a^4$, а знаменатель $q = \frac{a^3b}{a^4} = \frac{b}{a}$.

Сумма $n$ членов геометрической прогрессии находится по формуле $S_n = u_1 \frac{q^n - 1}{q - 1}$. В нашем случае $n=5$.

$S_5 = a^4 \cdot \frac{(\frac{b}{a})^5 - 1}{\frac{b}{a} - 1} = a^4 \cdot \frac{\frac{b^5}{a^5} - 1}{\frac{b-a}{a}} = a^4 \cdot \frac{\frac{b^5 - a^5}{a^5}}{\frac{b-a}{a}} = a^4 \cdot \frac{b^5 - a^5}{a^5} \cdot \frac{a}{b-a} = \frac{a^5}{a^5} \cdot \frac{b^5 - a^5}{b-a} = \frac{-(a^5 - b^5)}{-(a-b)} = \frac{a^5 - b^5}{a-b}$

Таким образом, мы показали, что $a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4 = \frac{a^5 - b^5}{a-b}$.

Умножив обе части этого равенства на $(a-b)$, мы получаем исходное тождество: $(a-b)(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4) = a^5 - b^5$.

Способ 3: Разложение левой части на множители

Преобразуем левую часть $a^5 - b^5$, последовательно добавляя и вычитая слагаемые для выделения общего множителя $(a-b)$.

$a^5 - b^5 = a^5 - a^4b + a^4b - a^3b^2 + a^3b^2 - a^2b^3 + a^2b^3 - ab^4 + ab^4 - b^5$

Сгруппируем слагаемые попарно и вынесем общие множители за скобки:

$= (a^5 - a^4b) + (a^4b - a^3b^2) + (a^3b^2 - a^2b^3) + (a^2b^3 - ab^4) + (ab^4 - b^5)$

$= a^4(a-b) + a^3b(a-b) + a^2b^2(a-b) + ab^3(a-b) + b^4(a-b)$

Теперь вынесем общий множитель $(a-b)$ за скобки:

$= (a-b)(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4)$

Левая часть тождественно равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: тождество $a^5 - b^5 = (a - b)(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4)$ доказано.

---

б) Доказать тождество: $a^5 + b^5 = (a + b)(a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4)$

Докажем это тождество аналогичными способами.

Способ 1: Раскрытие скобок (умножение многочленов)

Преобразуем правую часть равенства, раскрыв скобки.

$(a + b)(a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4) = a \cdot (a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4) + b \cdot (a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4)$

$= (a^5 - a^4b + a^3b^2 - a^2b^3 + ab^4) + (a^4b - a^3b^2 + a^2b^3 - ab^4 + b^5)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$= a^5 - a^4b + a^3b^2 - a^2b^3 + ab^4 + a^4b - a^3b^2 + a^2b^3 - ab^4 + b^5$

Промежуточные члены с противоположными знаками взаимно уничтожаются:

$= a^5 + (-a^4b + a^4b) + (a^3b^2 - a^3b^2) + (-a^2b^3 + a^2b^3) + (ab^4 - ab^4) + b^5 = a^5 + b^5$

Полученное выражение равно левой части исходного равенства, тождество доказано.

Способ 2: Использование формулы суммы геометрической прогрессии

Рассмотрим выражение во второй скобке: $S = a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4$. Это сумма пяти членов знакочередующейся геометрической прогрессии. Первый член $u_1 = a^4$, знаменатель $q = \frac{-a^3b}{a^4} = -\frac{b}{a}$.

Используем формулу суммы $S_n = u_1 \frac{q^n - 1}{q - 1}$ для $n=5$.

$S_5 = a^4 \cdot \frac{(-\frac{b}{a})^5 - 1}{-\frac{b}{a} - 1} = a^4 \cdot \frac{-\frac{b^5}{a^5} - 1}{-\frac{b+a}{a}} = a^4 \cdot \frac{\frac{-b^5 - a^5}{a^5}}{-\frac{a+b}{a}} = a^4 \cdot \frac{-(a^5 + b^5)}{a^5} \cdot \frac{a}{-(a+b)} = \frac{a^5}{a^5} \cdot \frac{a^5 + b^5}{a+b} = \frac{a^5 + b^5}{a+b}$

Следовательно, $a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4 = \frac{a^5 + b^5}{a+b}$.

Умножив обе части на $(a+b)$, получаем исходное тождество: $(a+b)(a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4) = a^5 + b^5$.

Способ 3: Разложение левой части на множители

Преобразуем левую часть $a^5 + b^5$, добавляя и вычитая слагаемые для выделения множителя $(a+b)$.

$a^5 + b^5 = a^5 + a^4b - a^4b - a^3b^2 + a^3b^2 + a^2b^3 - a^2b^3 - ab^4 + ab^4 + b^5$

Сгруппируем слагаемые попарно:

$= (a^5 + a^4b) - (a^4b + a^3b^2) + (a^3b^2 + a^2b^3) - (a^2b^3 + ab^4) + (ab^4 + b^5)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$= a^4(a+b) - a^3b(a+b) + a^2b^2(a+b) - ab^3(a+b) + b^4(a+b)$

Теперь вынесем общий множитель $(a+b)$ за скобки:

$= (a+b)(a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4)$

Левая часть тождественно равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: тождество $a^5 + b^5 = (a + b)(a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4)$ доказано.