Номер 3, страница 211 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо знать. Чему вы научились. Глава 7. Разложение многочленов на множители - номер 3, страница 211.

Условие.

3 Объясните на примере многочлена $ax - bx + ay - by$, как выполняется разложение на множители способом группировки. Покажите разные возможности группировки слагаемых.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Разложение многочлена на множители способом группировки означает, что слагаемые многочлена объединяют в группы таким образом, чтобы у каждой группы появился общий множитель. Этот множитель выносят за скобки. После этого шага должен появиться новый общий множитель (уже для всех групп), который также выносится за скобки. Рассмотрим различные возможности группировки слагаемых на примере многочлена $ax - bx + ay - by$.

Первая возможность группировки

Сгруппируем первое слагаемое со вторым, а третье — с четвертым.

$ax - bx + ay - by = (ax - bx) + (ay - by)$

В первой группе $(ax - bx)$ вынесем за скобки общий множитель $x$. Во второй группе $(ay - by)$ вынесем за скобки общий множитель $y$. В результате получим:

$x(a - b) + y(a - b)$

Теперь у обоих получившихся слагаемых есть общий множитель — это двучлен $(a - b)$. Вынесем его за скобки:

$(a - b)(x + y)$

Таким образом, многочлен разложен на два множителя.

Ответ: $(a - b)(x + y)$

Вторая возможность группировки

Сгруппируем первое слагаемое с третьим, а второе — с четвертым.

$ax - bx + ay - by = (ax + ay) + (-bx - by)$

В первой группе $(ax + ay)$ вынесем за скобки общий множитель $a$. Во второй группе $(-bx - by)$ вынесем за скобки общий множитель $-b$, чтобы получить в скобках такое же выражение, как и в первой группе. Получим:

$a(x + y) - b(x + y)$

Теперь общим множителем является двучлен $(x + y)$. Вынесем его за скобки:

$(x + y)(a - b)$

Результат совпадает с первым способом, так как от перестановки множителей произведение не изменяется.

Ответ: $(x + y)(a - b)$